¿Cómo construir una base sólida para las matemáticas universitarias?

Mi objetivo: Estudiar matemáticas puras a nivel universitario el próximo año. Considero que el álgebra abstracta, la teoría de números y los fundamentos de las matemáticas (teoría de conjuntos, FOL, etc.) son intrigantes pero en su mayoría inaccesibles con mi madurez matemática actual, pero me encantaría aprender más sobre ellos en el futuro. Quiero asegurarme de que, cuando llegue ese momento, pueda digerir la mayor parte del material sin atascarme. En última instancia, me gustaría hacer una contribución significativa al campo de las matemáticas puras :)

Mi experiencia: Recientemente terminé la escuela secundaria, cubriendo cálculo de una sola variable (Cálculo 1), algunas matrices-determinantes (principalmente problemas computacionales) y algunas nociones elementales de conjuntos, relaciones, funciones, combinatoria, conceptos básicos de álgebra vectorial y probabilidad discreta.

Resulta que tengo un año de tiempo disponible y puedo dedicar varias horas de estudio constantemente. Sin embargo, he intentado aprender una variedad de temas desde hace algún tiempo, pero el aprendizaje desorganizado me hace perder la noción de mi progreso. Quiero utilizar el tiempo que viene de manera lucrativa, para obtener una mejor comprensión de lo que son las matemáticas , al mismo tiempo que construyo una base sólida. Traté de organizar un esquema general de cómo podría estudiar durante este tiempo, dividido en 3 pistas :

Pista 1-Continuación de las matemáticas escolares: Continuando con Cálculo 1, podría comenzar a sumergirme en Cálculo 2 y 3; De manera similar extenderé mi conocimiento de matrices-determinantes al álgebra lineal básica. Mientras hago esto, podría poner más énfasis en probar y comprender los resultados en lugar de simplemente realizar cálculos mecánicos.

Vía 2: estudiar para las olimpiadas de matemáticas de la escuela secundaria: esto no implica que me inscribiría en ninguna olimpiada; más bien, estaría cubriendo matemáticas que generalmente no se enseñan en la escuela pero que constituyen preguntas en las olimpiadas de matemáticas dirigidas a estudiantes de secundaria. Trataré de cubrir temas como teoría elemental de números, geometría euclidiana, ecuaciones funcionales, desigualdades, teoría de ecuaciones, combinatoria y probabilidad, etc.

Vía 3: comenzar a sumergirse en las matemáticas de pregrado: debido a las circunstancias que prevalecen actualmente, ha habido una avalancha de recursos de aprendizaje en línea para todos los niveles de estudiantes. Los MOOC de matemáticas superiores no son una excepción. Por lo tanto, podría comenzar a estudiar análisis real básico, álgebra lineal y abstracta introductoria, teoría de conjuntos y lógica. Me gusta probar cosas, pero no sé cómo perfeccionar esta habilidad.

Tengo amplios recursos de aprendizaje disponibles conmigo (una plétora de libros de texto de matemáticas como Análisis 1 y 2 de T.Tao, Álgebra abstracta contemporánea de Gallian, Ecuaciones diferenciales ordinarias de M.Tenenbaum, por nombrar algunos, no me asustaría comprar libros de texto a precios más razonables que son necesarios para promover mi objetivo). Sin embargo, esto es lo que me confunde:

1) ¿Cuál de las pistas mencionadas se adapta mejor para lograr mi objetivo? Ciertamente no espero convertirme en un experto en todos los oficios dentro de un año, pero quiero una base firme en los últimos años de mi educación matemática. También se aceptan sugerencias detalladas sobre cualquier otra pista.

2) En ausencia de un instructor, ¿cómo evalúo y controlo mi progreso de manera limitada en el tiempo? Por supuesto, nada puede sustituir el hecho de estudiar matemáticas en la universidad, pero ¿qué es lo menos que puedo hacer para evaluar mi trabajo? Quiero estar seguro de no quedarme atascado en el medio, sin saber adónde voy con mis estudios.

Mi preferencia en estas pistas va como$3>2>1$. Estoy cautivado por la perspectiva de aprender matemáticas superiores (hice un poco de teoría de grupos básica mientras estaba en la escuela secundaria), pero finalmente me di por vencido porque aunque solía enmarcar una sola prueba en 40-50 minutos de tiempo, no estaba seguro si fue correcto en absoluto al final. Además, los temas en los niveles superiores están interconectados y, por lo tanto, requieren algunos antecedentes/requisitos previos (parte de la razón por la que dejé de estudiar teoría de grupos fue mi falta de experiencia en aritmética modular) junto con madurez matemática, que a veces se convierte en una barrera para el aprendizaje. Sin embargo, agradezco cualquier sugerencia que venga de una comunidad de estudiantes, profesores y profesionales de las matemáticas. Nota al margen:Ya he revisado varias preguntas sobre temas relacionados en MSE y en otros lugares, pero no pude relacionarme razonablemente con ninguno de ellos.