¿Sugerencias sobre libros de texto reales de análisis de Fourier?

Definitivamente recomendaría al bebé Rudin para el análisis introductorio general, su libro de texto de seguimiento también es mi libro de análisis favorito. El análisis de Fourier generalmente depende mucho de la integración de Lebesgue. Un libro que usa solo la integral de Riemann (si no recuerdo mal) es el primero de Dietmar .

La ruta que tomé en el análisis armónico comenzó con A (Conciso) Introducción a la integración de Lebesgue por Franks, que tiene un borrador en línea aquí , que presenta la medida/integral de Lebesgue de una manera muy rigurosa antes de establecer la base$L^{2}$tratamiento de las series de Fourier en$\Bbb{T}$. Después de eso, la mejor recomendación que la mayoría de las personas interesadas en el análisis armónico deberían leer es el libro de Katznelson , que cubre la transformada estándar de Fourier en$\Bbb{R}$el material muy bien, además de esbozar el material del grupo abeliano localmente compacto. A partir de ahí, parece haber menos consenso general. Encontré el Análisis de Fourier de Rudin sobre grupos excelente para el caso abeliano localmente compacto, dando buenas pruebas de varios teoremas para los cuales no estaba contento con las pruebas dadas en otros libros. También disfruté Classical Harmonic Analysis y Locally Compact Groups de Reiter y Stegeman como una introducción más amplia al análisis armónico abeliano, aunque omite bastantes pruebas clave. No puedo ofrecer muchas referencias más allá del caso abeliano, y ciertamente no más allá del caso compacto, pero el segundo de los libros de Deitmarfue mi referencia general favorita para el análisis armónico no abeliano introductorio. No he leído mucho de él, pero mi tratamiento favorito del caso compacto es el que se encuentra en el libro de Folland, que está en línea aquí ; en particular, encontré que su descripción de la teoría de la representación era mucho más natural que otros tratamientos.

No soy estadounidense, por lo que no puedo relacionar lo que he dicho con los cursos que ha enumerado, pero espero que esto ayude un poco. Ciertamente recomendaría comenzar con Franks y Katznelson.

Como un aparte general relacionado con sus comentarios, recomendaría tratar de leer tanto como sea posible sin pedir ayuda a sus profesores; incluso si finalmente tiene que pedir ayuda para entender algo, obtendrá mucho, mucho más de si solo pides ayuda una vez que te hayas roto los sesos tratando de entenderlo.

Este libro no recibe el reconocimiento que merece:

"Matemáticas reales. Análisis" de Pugh.

Ofrece un enfoque muy intuitivo y una presentación completa. Hay muchos ejemplos, muchos, muchos problemas, incluidos algunos de los exámenes preliminares de Berkeley.

Especialmente bueno para el autoaprendizaje.

Tengo los 4 libros de Stein y Shakarchi, y los he encontrado muy útiles en mis primeros años de posgrado. Mi curso de posgrado de análisis real usó el libro III, así que compré los otros para tener el juego completo. Tienen pros y contras, por supuesto. Pros: cubren una tonelada de material, tienen más buenos ejercicios de los que podrías terminar en un año (si puedes, accesorios para ti) y abordan todo de la manera más rigurosa posible. En particular, el Libro I es posiblemente la introducción rigurosa más digerible al análisis de Fourier que conozco, al menos a nivel universitario avanzado. El primer capítulo revisa las motivaciones de las ecuaciones en derivadas parciales, pero de ahí en adelante desarrollará los resultados básicos de convergencia de series de Fourier y la transformada de Fourier en$\mathbb{R}$y$\mathbb{R}^d$. Hay toneladas de 'aplicaciones' que son buenas para mantenerse conectado a tierra. Los últimos dos capítulos son una buena introducción breve al análisis finito de Fourier y algo de teoría analítica de números, un buen contraste con la mayor parte del resto del libro.

El Libro III es nuevamente, en mi opinión, una introducción muy digerible a la teoría de Lebesgue. Mientras que muchos libros sobre análisis real (como Papa Rudin) tienden a comenzar con la definición de un espacio de medida, S&S se apega a la medida e integración de Lebesgue en$\mathbb{R}^d$durante la mayor parte del libro. Definitivamente recomendaría los primeros 3 capítulos. Probablemente pueda hacerlo mejor con la teoría de la medida abstracta (Papa Rudin es una buena opción). Contras de los libros de S&S: algunas de las pruebas son un poco apresuradas, así que asegúrate de aclarar todos los detalles por ti mismo. Además, algunos de los ejercicios son un poco confusos al principio. El otro problema que tengo con los libros es que cada libro no es realmente independiente: hacen muchas referencias a los otros libros de la serie.

Otra buena introducción a la teoría de la medida, aunque más ligera, es "Medida, integral y probabilidad" de Capinski y Kopp.

En cuanto a entrar en el análisis armónico, no estoy seguro de si hay un libro perfecto para su nivel. Hice un curso de estudio independiente el año pasado y trabajamos con "métodos de variables reales en análisis armónico" de Torchinsky. Era denso, pero pude pasar por los capítulos básicos (espacios débiles de Lebesgue, interpolación de espacios de Lebesgue, la transformada de Hilbert) en menos de 10 semanas. Además, es un libro de Dover, así que es barato.

Algunos pueden no estar de acuerdo conmigo en esto, pero he descubierto que una excelente manera de motivar lo que necesito aprender es tener en mente un libro o documento de "objetivo" que eventualmente me gustaría entender. He tenido algunos de estos habitantes de los estantes mirándome fijamente durante el último año o dos, incluida la Biblia del análisis armónico (el "Análisis armónico" de Stein), el "Análisis moderno de Fourier" de Grafako, y así sucesivamente. De vez en cuando, puedes ir a la biblioteca y simplemente hojear un libro para ver dónde estás (si no reconoces la mayoría de las palabras, ¡tienes mucho más trabajo por hacer!)

Después de tomar esos cursos definitivamente recomendaría

Rudin: Principios del Análisis Matemático

y

Pinkus, Zafrany: Series de Fourier y Transformadas Integrales

Ambas son lecturas pesadas pero valen la pena ;)