Sobre la demostración de Einstein del llamado teorema de Pitágoras

Question

Sobre la demostración de Einstein del llamado teorema de Pitágoras

desacreditando
Matemáticas
Geometría euclidiana
Proposición de Pitágoras

José Hdz. Stgo.

Parte I

En el libro de E. Maor [2, p. 117] leemos que, en algún lugar de sus Notas autobiográficas , Einstein escribió esto:

Un tío me habló del teorema de Pitágoras antes de que el cuadernillo de geometría sagrada llegara a mis manos. Después de mucho esfuerzo logré "demostrar" este teorema sobre la base de la semejanza de triángulos; al hacerlo me pareció "evidente" que las relaciones [razones] de los lados de los triángulos rectángulos tendrían que estar completamente determinadas por uno de los ángulos agudos...

E. Maor añade que la demostración del teorema de Pitágoras de Einstein fue reconstruida por el biógrafo y colaborador de Einstein, Banesh Hoffmann (para más información al respecto, E. Maor señala a sus lectores 1 ). Luego, E. Maor menciona que lo que B. Hoffmann presentó como prueba de Einstein del teorema de Pitágoras resulta ser básicamente "la primera de las 'pruebas algebraicas' en el libro de Elisha Scott Loomis (atribuido allí a [un tal David] Legendre pero siendo en realidad la segunda prueba de Euclides; ver [4, p. 24] o buscar "prueba usando triángulos semejantes" en esta página web )".

Dicho todo esto, me gustaría hacerle las siguientes preguntas:

I. a) ¿Cómo logró B. Hoffmann "reconstruir" la demostración del teorema de Pitágoras de Einstein? b) ¿Sabemos cuáles eran sus referencias? c) ¿La "reconstrucción" en cuestión fue realmente reconocida como la realizada por Einstein en su vida?

Parte II

S. Strogatz en este artículo , publicado hace un mes en The New Yorker , desafía, basándose en [5, pp. 3-4], el consenso entre varios biógrafos de Einstein (incluido Hoffmann) sobre cómo fue que la prueba de Einstein de el teorema de Pitágoras realmente funcionó. Según Schroeder (y Strogatz), Einstein consideró, al igual que en la figura siguiente, la altura a la hipotenusa $AB$ del triangulo rectangulo $ABC$ :

Entonces, por un lado, Einstein tiene que $\triangle ABC \sim \triangle CBD \sim \triangle ACD$ y eso

a r mi a (△ C B D) + a r mi a (△ A C D) = a r mi a (△ A B C) . (*)

$\mathrm{area}(\triangle CBD) + \mathrm{area}(\triangle ACD) = \mathrm{area}(\triangle ABC). \qquad \mbox{(*)}$

Por otro lado, si

A := a r mi a (△ C B D),

$\mathcal{A}:= \mathrm{area}(\triangle CBD),$

entonces

a r mi a (△ A C D) = {(\frac{b}{a})}^{2} A

$\mathrm{area}(\triangle ACD) = \left(\frac{b}{a}\right)^{2}\mathcal{A}$

y

a r mi a (△ A B C) = {(\frac{C}{a})}^{2} A

$\mathrm{area}(\triangle ABC) = \left(\frac{c}{a}\right)^{2} \mathcal{A}$ (Cabe recordar que, según Eucl. VI-19, la razón de las áreas de dos triángulos semejantes es igual al cuadrado de la razón de dos lados cualesquiera correspondientes ). De esto y

(*)

$(*)$ , resulta que

A + {(\frac{b}{a})}^{2} A = {(\frac{C}{a})}^{2} A;

$\mathcal{A} + \left(\frac{b}{a}\right)^{2}\mathcal{A} = \left(\frac{c}{a}\right)^{2} \mathcal{A};$

obviamente, el teorema de Pitágoras es una consecuencia inmediata de la igualdad anterior.

En opinión de Strogatz, esta prueba es más clara que la típicamente atribuida a Einstein; naturalmente, estoy de acuerdo con él a este respecto. Además, hay que señalar que es básicamente a través de este enfoque que B. Mazur demuestra en 3 una versión mucho más general del teorema de Pitágoras (al que Mazur se refiere como el teorema de Pitágoras blob ). Sin embargo, el artículo de Strogatz originó en mi psique las siguientes preguntas:

II. a) ¿Cómo fue realmente la prueba de Einstein del teorema de Pitágoras? b) ¿Lo sabremos alguna vez? c) La demostración del teorema de Pitágoras que Schroeder (y Strogatz) atribuyen a Einstein se encuentra efectivamente en [4, pp. 230-231]; en efecto, ES Loomis menciona en la página 230 de ese libro que la demostración del teorema de Pitágoras --en esa línea-- le fue comunicada el 4 de junio de 1934 por Stanley Jashemski (de Youngstown, Ohio, EE.UU.), " un joven de intelecto superior". Dado que no se menciona en absoluto al Sr. Jashemski en el artículo de Strogatz, ¿qué tan en serio deberíamos tomar este artículo suyo sobre la prueba einsteiniana "genuina" del teorema de Pitágoras?

Referencias

Albert Einstein: perspectivas históricas y culturales. Eds. Gerald Holton y Yehuda Elkana, Princeton University Press, 1982, págs. 92-93.
Eli Maor, El teorema de Pitágoras: una historia de 4000 años. Prensa de la Universidad de Princeton, EE. UU., 2007.
Barry Mazur, Una fábula matemática .
Elisha Scott Loomis, La proposición de Pitágoras. Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas, 2do. Edición, Ann Arbor, Michigan, EE. UU., 1940.
Manfred Schroeder, Fractales, caos, leyes de potencia: minutos de un paraíso infinito. Dover Publications, Inc. Mineola, Nueva York, EE. UU., 2009.
Sobre el artículo Sobre la prueba de Einstein de Stephen Strogatz. (Mis primeras impresiones sobre el artículo de Strogatz)

alejandro eremenko

¿Por qué "así llamado"?

José Hdz. Stgo.

Porque, si entiendo bien, los babilonios ya lo conocían varios siglos antes del florecimiento de Pitágoras y porque nadie sabe si Pitágoras estableció el teorema en toda su generalidad (sin embargo, algunos autores aceptan que pudo haber estado en posesión de un demostración de su "teorema" para el caso de triángulos isósceles rectángulos).

alejandro eremenko

Los babilonios/egipcios estaban familiarizados con varios EJEMPLOS. Antes de los griegos, no existía la noción de PRUEBA y, por lo tanto, no había teoremas. (Un teorema, por definición, es un enunciado que se prueba).

alejandro eremenko

Las especulaciones del tipo "quizás tenían una prueba" son inútiles: no hay evidencia alguna de que alguna civilización antes de los griegos tuviera una noción de prueba matemática.

José Hdz. Stgo.

Sí, entiendo que... Mi punto es éste: si no podemos decir con seguridad si Pitágoras lo demostró EN TODA SU GENERALIDAD, entonces tampoco se le debe atribuir sin reservas el teorema (Un teorema, por definición, es un enunciado que se prueba); lo que es más, no estoy seguro de que haberlo probado para el caso de los triángulos isósceles rectángulos le daría mucha ventaja sobre los babilonios en una disputa de prioridad sobre la primera demostración legítima de Euc. I-47.

alejandro eremenko

No se le atribuye. Se atribuye a los pitagóricos. La demostración con toda su generalidad era conocida por los griegos (Euclides) y los matemáticos griegos la atribuyeron a los pitagóricos. Así que el nombre está completamente justificado.

pjs36

Si va a agregar "supuestos" a objetos mal atribuidos, ¡usará una larga lista de supuestos objetos! Probablemente sea mejor editar esa parte del título, o de lo contrario, eso es todo de lo que hablaremos.

skan

Cómo se consigue

a r e a (△ A C D) = {(\frac{b}{a})}^{2} A

$\mathrm{area}(\triangle ACD) = \left(\frac{b}{a}\right)^{2}\mathcal{A}$ ?

José Hdz. Stgo.

@skan: "la proporción de las áreas de dos triángulos similares es igual al cuadrado de la proporción de dos lados correspondientes..."

Alberto Heisenberg

¿Todavía no entiendo la llamada parte? ¿Existe tanta controversia histórica sobre la prioridad del PT? Además, Einstein no era conocido por mentir sobre su trabajo. También fue muy deferente en este sentido. Straus estaba cerca de Einstein y me parece muy concebible que pudiera relacionar la prueba con Strogatz.

orrick

Acerca de Pitágoras, la respuesta corta es sí: hay mucha controversia. Durante mucho tiempo se ha reconocido que no sobrevive ninguna evidencia temprana que vincule a Pitágoras o sus seguidores inmediatos con el teorema o con las matemáticas en general, pero hasta hace poco se aceptaba que la evidencia tardía que conecta a Pitágoras con el teorema debe haberse basado en material anterior que se ha perdido para nosotros.

orrick

En las últimas décadas, las actitudes hacia esto han cambiado, principalmente debido al trabajo de Walter Burkert. Por ejemplo, el comentario de Proclo (escrito unos nueve siglos después de Pitágoras) ha sido considerado como nuestra fuente de información más fiable sobre las matemáticas griegas antiguas, en particular porque incorpora material de una historia ahora perdida de Eudemo (que vivió unos dos siglos después de Pitágoras). Burkert, sin embargo, descubrió que, en el punto de la historia de Proclo en el que Pitágoras entra en la historia, Proclo cambia de usar a Eudemo como fuente a usar a Jámblico,...

orrick

...un filósofo neopitagórico que escribió unos ocho siglos después de Pitágoras, como fuente. Burkert argumenta que Proclo se vio obligado a hacer este cambio porque la fuente antigua no mencionaba a Pitágoras . Puedes leer sobre esto, y sobre otros puntos de vista, en el artículo de la Enciclopedia de Filosofía de Stanford " Pythagoras ".

Respuestas (2)

Sobre la demostración de Einstein del llamado teorema de Pitágoras

Porque, si entiendo bien, los babilonios ya lo conocían varios siglos antes del florecimiento de Pitágoras y porque nadie sabe si Pitágoras estableció el teorema en toda su generalidad (sin embargo, algunos autores aceptan que pudo haber estado en posesión de un demostración de su "teorema" para el caso de triángulos isósceles rectángulos).
Los babilonios/egipcios estaban familiarizados con varios EJEMPLOS. Antes de los griegos, no existía la noción de PRUEBA y, por lo tanto, no había teoremas. (Un teorema, por definición, es un enunciado que se prueba).
Las especulaciones del tipo "quizás tenían una prueba" son inútiles: no hay evidencia alguna de que alguna civilización antes de los griegos tuviera una noción de prueba matemática.
Sí, entiendo que... Mi punto es éste: si no podemos decir con seguridad si Pitágoras lo demostró EN TODA SU GENERALIDAD, entonces tampoco se le debe atribuir sin reservas el teorema (Un teorema, por definición, es un enunciado que se prueba); lo que es más, no estoy seguro de que haberlo probado para el caso de los triángulos isósceles rectángulos le daría mucha ventaja sobre los babilonios en una disputa de prioridad sobre la primera demostración legítima de Euc. I-47.
No se le atribuye. Se atribuye a los pitagóricos. La demostración con toda su generalidad era conocida por los griegos (Euclides) y los matemáticos griegos la atribuyeron a los pitagóricos. Así que el nombre está completamente justificado.
Si va a agregar "supuestos" a objetos mal atribuidos, ¡usará una larga lista de supuestos objetos! Probablemente sea mejor editar esa parte del título, o de lo contrario, eso es todo de lo que hablaremos.
Cómo se consigue $\mathrm{area}(\triangle ACD) = \left(\frac{b}{a}\right)^{2}\mathcal{A}$ ?
@skan: "la proporción de las áreas de dos triángulos similares es igual al cuadrado de la proporción de dos lados correspondientes..."
¿Todavía no entiendo la llamada parte? ¿Existe tanta controversia histórica sobre la prioridad del PT? Además, Einstein no era conocido por mentir sobre su trabajo. También fue muy deferente en este sentido. Straus estaba cerca de Einstein y me parece muy concebible que pudiera relacionar la prueba con Strogatz.
Acerca de Pitágoras, la respuesta corta es sí: hay mucha controversia. Durante mucho tiempo se ha reconocido que no sobrevive ninguna evidencia temprana que vincule a Pitágoras o sus seguidores inmediatos con el teorema o con las matemáticas en general, pero hasta hace poco se aceptaba que la evidencia tardía que conecta a Pitágoras con el teorema debe haberse basado en material anterior que se ha perdido para nosotros.
En las últimas décadas, las actitudes hacia esto han cambiado, principalmente debido al trabajo de Walter Burkert. Por ejemplo, el comentario de Proclo (escrito unos nueve siglos después de Pitágoras) ha sido considerado como nuestra fuente de información más fiable sobre las matemáticas griegas antiguas, en particular porque incorpora material de una historia ahora perdida de Eudemo (que vivió unos dos siglos después de Pitágoras). Burkert, sin embargo, descubrió que, en el punto de la historia de Proclo en el que Pitágoras entra en la historia, Proclo cambia de usar a Eudemo como fuente a usar a Jámblico,...
...un filósofo neopitagórico que escribió unos ocho siglos después de Pitágoras, como fuente. Burkert argumenta que Proclo se vio obligado a hacer este cambio porque la fuente antigua no mencionaba a Pitágoras . Puedes leer sobre esto, y sobre otros puntos de vista, en el artículo de la Enciclopedia de Filosofía de Stanford " Pythagoras ".

brian hopkins · Answer 1

Con respecto a II(c): Strogatz/Schroeder ofrece una serie de conexiones con Einstein a través de Shneior Lifson y Erst Straus, uno de los asistentes de Einstein en la IAS. Pero sería difícil relacionar a Einstein con el joven Jashemski, ya que Einstein llegó a los EE. UU. en 1933. Hay muchos casos de personas que han llegado a la misma prueba de forma independiente, especialmente en algo tan bien estudiado como el teorema de Pitágoras (entiendo su justificación de "supuesto", pero creo que es una batalla perdida --- ver también ¿ Era Pitágoras chino? por Frank Swetz, 1977).

Me pregunto si el "joven de intelecto superior" de Loomis es el mismo Stanley Jashemski que se graduó de la Universidad de Chicago en 1943, trabajó como físico para la Marina y es mejor conocido como el esposo de Wilhelmina Feemster Jashemski, una historiadora de la Universidad de Maryland. que se especializó en los jardines de Pompeya (Stanley tomó las fotografías para su investigación).

Alberto Heisenberg · Answer 2

Bueno, la publicación original parece estar asumiendo que Einstein está mintiendo. No veo ninguna razón por la que deba mentir sobre su prueba original. Strogatz/Schroeder tenía numerosos asociados mutuos con Einstein a través de Erst Straus; tal comunicación no habría ocurrido sin confirmar primero con Einstein. No todas las cartas de Einstein posteriores a 1930 han sido examinadas todavía.

El uso de Einstein de ecuaciones diferenciales en variedades curvas debería darle el beneficio de la duda. Es probable que tengamos más pruebas de que completó tal demostración que de los verdaderos orígenes del Teorema de Pitágoras.

Aprendió por sí mismo cálculo diferencial e integral a los 14 años. Habría sido un geómetra brillante si le hubiera interesado. Es muy poco probable que tal prueba haya sobrevivido hasta la edad adulta, pero la prueba citada anteriormente tiene el sello distintivo de la elegancia cognitiva de Einstein.

La historia a la que se hace referencia en sus notas autobiográficas es significativa porque conscientemente (o inconscientemente) omitió muchas de sus contribuciones seminales a la teoría cuántica en sus notas autobiográficas (ni siquiera menciona su profético trabajo sobre emisión espontánea y estimulada). Me cuesta creer que Einstein inventaría algo como esto, y nuevamente, esas ecuaciones diferenciales con las que tengo que luchar en GR sugieren que su dominio de la geometría era excepcional. GR es un trineo duro, sus habilidades geométricas fueron de primera categoría.

No sé si vio mi serie anterior de comentarios, que eliminé. Ahora que he leído más material de origen, mi forma de pensar ha cambiado ligeramente y no todo en esos comentarios parece relevante. Todavía no entiendo por qué ves la publicación original sugiriendo que Einstein estaba mintiendo, a menos que poner en duda el relato de Schroeder/Strogatz de tercera/cuarta mano sea equivalente a llamar mentiroso a Einstein. La versión de Schroeder de la historia está algo en desacuerdo con el propio relato de Einstein en sus Notas autobiográficas . Sangré para agregar mi propia respuesta pronto explicando mis pensamientos.

Sobre la demostración de Einstein del llamado teorema de Pitágoras

José Hdz. Stgo.

Parte I

Parte II

alejandro eremenko

José Hdz. Stgo.

alejandro eremenko

alejandro eremenko

José Hdz. Stgo.

alejandro eremenko

pjs36

skan

José Hdz. Stgo.

Alberto Heisenberg

orrick

orrick

orrick

Respuestas (2)

brian hopkins

Alberto Heisenberg

orrick

Encontrar las longitudes de los lados de un trapezoide dada la distancia entre su intersección diagonal y el punto medio de una diagonal

Maclaurin y la espiral de Lituus

Demostrando que el circuncentro está en la altura

El lugar geométrico del centroide de un triángulo cuando un vértice se mueve en un círculo

Ciencia de la creación [cerrado]

¿Por qué Euclides no trató de asignar números a las longitudes?

Sea ABCDABCDABCD un cuadrilátero cíclico convexo tal que AD+BC=ABAD+BC=ABAD + BC = AB. Demuestra que las bisectrices de los ángulos ADCADCADC y BCDBCDBCD se cortan en la recta ABABAB.

¿Es cierto el Teorema de Pitágoras para el cateto infinitesimal?

¿Quién descubrió la dualidad entre los sólidos platónicos?

Longitud de las líneas relacionadas con el ortocentro