El lugar geométrico del centroide de un triángulo cuando un vértice se mueve en un círculo

Prueba geométrica: usaré el término "baricentro" para "promedio ponderado".

Dejar$D$sea ​​el punto medio del segmento de recta$[BC]$.

Por baricentración parcial, equivale a buscar el baricentro$W$de punto variable$A$con peso$1$y punto fijo$D$con peso$2$. Por lo tanto punto$W$siempre es tal que$\vec{DW}=\frac13 \vec{DA}$. En consecuencia, el lugar geométrico del punto$W$es la imagen del lugar de$A$por una homotecia con centro$D$y proporción$1/3$; por lo tanto$W$describe un círculo con un radio de un tercio del radio del círculo descrito por$A$.

Prueba analítica:

con$G=(x_G=\frac13(x_A+x_B+x_C),y_G=\frac13(x_A+x_B+x_C))$es el centro de masa del triangulo$ABC$.

Di, vértice$A$se mueve en circulo$X$de radio$r$.

Entonces$OA = r$y$G$, el centroide de$\triangle ABC$, divide la mediana$AM$en la proporción$2:1$. Ahora toma el punto$K$en segmento$OM$tal que$OK:KM = 2:1$. Dado$M$y$O$son fijos, punto$K$está arreglado

Independientemente de dónde apunte$A$esta en el circulo$X$, segmento$KG$divide lados$AM$y$OM$en la misma proporción de$2:1$en$\triangle OAM$. Por lo tanto, debe ser paralelo a la base.$BC$y$KG = \frac{OA}{3} = \frac{r}{3}$. Entonces la distancia de$G$de$K$se fija como$A$se mueve en el círculo con radio dado$r$.

Tenga en cuenta también que hay dos puntos en el círculo cuando$A, M$y$O$son colineales y tenemos un triángulo degenerado$\triangle OAM$. Todavía se mantiene que$KG = \frac{r}{3}$.

Entonces como vértice$A$de$\triangle ABC$se mueve en circulo$X$con radio$r$, su centroide$G$se mueve en un círculo con centro como$K$y radio como$\frac{r}{3}$.$K$es el centroide de$\triangle OBC$.