Encontrar las longitudes de los lados de un trapezoide dada la distancia entre su intersección diagonal y el punto medio de una diagonal

La pregunta

Mi amigo recientemente me dio un problema que me interesaba, pero que no pude resolver por completo. Ya construí un diagrama que representa aproximadamente el problema, y ​​está debajo.

Considere un trapezoide$ABCD$con$AB \parallel CD$. Además, lado$BC = CD = 43$y$AD \perp BD$. Dado que la longitud entre el punto medio de la diagonal$BD$e interseccional de diagonales$AC$y$BD$es$11$, encuentra la longitud del lado$AD$. Exprese su respuesta en forma radical simplificada.

Mi entendimiento

Entonces, mi primera idea fue dibujarlo, y logré obtener una buena aproximación.

Entonces le di algunos nombres a los otros puntos, llamando al punto medio de la diagonal$M$y la intersección$I$. Lo primero que noté fue que debido a que$BC = CD$, descubrí que dibujándolo hasta el punto medio de la diagonal$BD$creó dos triángulos rectángulos. Además, noté ángulos congruentes dentro del triángulo.$CPO$y triangulo$ADO$, así que deduje que eran similares. Pero no estoy seguro de cómo proceder desde aquí, ya que no puedo establecer las longitudes de los lados de más segmentos. ¿Alguien sabe cómo proceder?