¿Quién descubrió la dualidad entre los sólidos platónicos?

Según la Enciclopedia del Nuevo Mundo, es posible que las personas hayan mostrado cierta conciencia de la dualidad ya en tiempos prehistóricos: " Se han encontrado en Escocia piedras talladas en formas que muestran las simetrías de varios poliedros y pueden tener hasta 4.000 años. Estas piedras muestran no solo la forma de varios poliedros simétricos, pero también las relaciones de dualidad entre algunos de ellos (es decir, que los centros de las caras del cubo dan los vértices de un octaedro, etc.) Ejemplos de estas piedras se exhiben en la sala John Evans del Museo Ashmolean de la Universidad de Oxford ". Sin embargo, como señaló Marius Kempe, las piedras en cuestión fueron alteradas para parecerse más a los sólidos platónicos . E incluso interpretando "poliedro" librementeel icosaedro todavía falta entre ellos : " mientras que la simetría de algunos de los sólidos platónicos está presente, estos no son poliedros ... ninguna bola con veinte botones tiene simetría icosaédrica. Muchas de las bolas de piedra tallada tienen seis botones, y por lo tanto tienen aproximadamente simetría octaédrica en la ubicación de sus perillas. Algunos tienen cuatro perillas y simetría tetraédrica. " Si bien la dualidad no se limita a los sólidos platónicos, y es posible tener una idea de ella sin el icosaedro, no está claro qué se refiere exactamente a las "relaciones de dualidad entre algunos de ellos". a.

Hay relatos diferentes sobre si los griegos conocían los cinco poliedros regulares antes de Teeteto. Pero incluso para Teeteto, la dualidad, si la notó, probablemente fue poco más que una ocurrencia tardía o un hecho curioso en lugar de una construcción/principio. Cuando Arquímedes descubrió más tarde poliedros semirregulares, también conocidos como sólidos de Arquímedes, hasta donde sabemos, ni él ni nadie más durante más de dos mil años pensó en intercambiar sus caras y vértices y ver qué pasaba. Había tan poco interés en los poliedros que el trabajo de Arquímedes no sobrevivió a la Edad Media, y solo sabemos de él por una mención en la Colección de Pappus. Solo en 1430 Paolo Uccello representó dos nuevos poliedros regulares (no convexos)en un mosaico en el piso de la catedral de San Marco en Venecia, y Kepler los describió matemáticamente solo en 1619 Harmonices Mundi , Poinsot encontró dos más en 1809. Pero nuevamente, ni Kepler ni Poinsot hicieron uso alguno de la dualidad.

El primer uso de la dualidad como principio parece ser en Memoire sur la Theorie des Polyedres de Catalan de 1865, donde construyó los duales de los sólidos de Arquímedes y señaló que no son semirregulares (las caras no son polígonos regulares). Estos ahora se llaman sólidos catalanes. Y solo Brückner en su libro de texto clásico de 1900 Vielecke und Vielflache: Theorie und Geschichte, que resumió todo lo que se sabía sobre los poliedros en ese momento, define explícitamente lo que llamamos "dualidad". George Hart reunió bibliografía anotada sobre poliedros que puede ser útil para seguir investigando.

Kepler conocía la dualidad: describió los cinco sólidos como dos pares masculino/femenino y llamó al tetraedro autodual 'androgyne' (ver el libro de Stephenson La música de los cielos ).

Hay una buena base para sospechar que, de hecho, Teeteto ya sabía acerca de la dualidad. Si, como cuenta la historia, ya se conocía la serie tetraedro, cubo, dodecaedro, podría haber hecho su descubrimiento anotando los duales; y la dualidad propia parece insinuar que no se pueden encontrar más, lo que lo llevó a inventar la prueba. Aparentemente le dijo a Platón quien, como sugiere su Timeo , parece ser consciente tanto del número finito de sólidos como de sus dualidades (ver, por ejemplo, aquí ).