Demostrando que el circuncentro está en la altura

Problema: En$\triangle ABC$, dejar$D$Sea la intersección de las tangentes a la circunferencia circunscrita en$B$y$C$, dejar$B'$ser el reflejo de$B$al otro lado de$AC$, dejar$C'$ser el reflejo de$C$al otro lado de$AB$. Demostrar que el circuncentro de$\triangle DB'C'$se encuentra en la altitud de$A$en$\triangle ABC$.

si dejamos$O_2,O_3$ser los circuncírculos de$\triangle AB'C,\triangle AC'B$, entonces fíjate que$\triangle C'O_3O\cong\triangle B'O_2O$. Esto es definitivamente cierto, porque es necesario que el enunciado del problema sea cierto (también lo probé en GeoGebra): Claramente$H\in (AB'C),(AB'C)$, dónde$H$es el ortocentro de$\triangle ABC$(desde$\angle AHB=\beta+\gamma,\angle AB'C=\angle AC'B=\alpha$, dónde$\angle BAC=\alpha,\angle ABC=\beta, \angle BCA=\gamma$). Entonces desde círculos$(AC'B),(AB'C),(ABC)$son todos congruentes, por la congruencia de los triángulos, tenemos$OO_2=OO_3\implies \text{pow}_{(AC'B)}(O)=\text{pow}_{(AB'C)}(O)$. Pero desde$AH$es el eje radical de$(AC'B),(AB'C)$,$O\in AH$, entonces$O$se encuentra en la altitud de$A$.

Pero no pude lograr probar eso$\triangle C'O_3O\cong\triangle B'O_2O$. Claramente$OC'=OB',O_3C'=O_2B'$, pero no pude probar que$\angle OC'O_3=\angle OB'O_2$(aunque sé que definitivamente es cierto).