Longitud de las líneas relacionadas con el ortocentro

Sea ABC un triángulo y H su ortocentro. Sea M el punto medio de BC. La perpendicular a MH a través de H corta a AB y AC en P y Q, respectivamente. Demostrar que |MP| = |MQ|.

Mi intento hasta ahora:

Claramente, esto se puede resolver fácilmente usando geometría de coordenadas, pero estoy tratando de practicar mi geometría euclidiana. Una cosa que he notado es que si B' y C' son los pies de C y B a AB y AC respectivamente, entonces, en el cuadrilátero cíclico BC'B'C con centro M, obtenemos que H es la intersección de las diagonales del cuadrilátero. Sin embargo, no sé cómo proceder desde aquí.

Respuestas (2)

Dejar A H , cuando se extiende, cumplir B C en el punto D . Entonces, ∠ B METRO H = 90 − ∠ D H METRO = ∠ PAG H D = ∠ A H q y de manera similar ∠ C METRO H = ∠ A H PAG

Observa eso, △ B H METRO ∼ △ A q H desde ∠ A H q = ∠ B METRO H y ∠ H A q = ∠ METRO B H . ⇒ B METRO H METRO = A H H q

Similarmente, △ C H METRO ∼ △ A PAG H ⇒ C METRO H METRO = A H H PAG .

Comparando estas dos igualdades se obtiene H PAG = H q y por lo tanto METRO PAG = METRO q .

Por qué son ∠ A H q = ∠ B METRO H y ∠ H A q = ∠ METRO B H ?
@justadumbguy A H ⊥ B C y B H ⊥ C A . ⇒ ∠ H A q = 90 − ∠ C y ∠ METRO B H = 90 − ∠ C . Por eso, ∠ H A q = ∠ METRO B H .

Dejar A ′ ser el reflejo de A a través de H , y sea el paralelo a A C a través de A ′ intersecarse A B en PAG 1 .

Entonces los triángulos H B C y PAG 1 A ′ A tienen sus lados respectivamente perpendiculares. Por lo tanto, son homotéticos después de un cuarto de vuelta. De ello se deduce que sus medianas PAG 1 H y H METRO son perpendiculares. Entonces PAG 1 = PAG y el resultado se sigue fácilmente del hecho de que A PAG A ′ q es un paralelogramo.

Longitud de las líneas relacionadas con el ortocentro
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v