Sea ABCDABCDABCD un cuadrilátero cíclico convexo tal que AD+BC=ABAD+BC=ABAD + BC = AB. Demuestra que las bisectrices de los ángulos ADCADCADC y BCDBCDBCD se cortan en la recta ABABAB.

Sea la bisectriz del ángulo para$\angle BCD$encontrarse$AB$en$F$(así que tenemos que demostrar que$DF$es la bisectriz del ángulo para$\angle ADC$), entonces

$$\angle BCF = FCD = \alpha\;\;\;\;{\rm and }\;\;\;\;\;\angle BAD = 180^{\circ} -2\alpha$$ y deja$E$en$AB$ser tal que$BE = BC$, entonces$AE = AD$y $$\angle FED = \angle AED = \angle ADE = \alpha$$ entonces$\angle FED = \angle FCD = \alpha$y por lo tanto$CDFE$es cíclico!

Ahora si$\angle FDC = \beta$entonces$\angle BEC = \angle ECB = \beta$, entonces

$$\angle 180^{\circ} -2\beta \implies \angle ADC = 2\beta$$ y por lo tanto$DF$es también la bisectriz del ángulo pero para$\angle ADC$y hemos terminado.

Dejar$\angle D=2\delta$y$\angle C=2\gamma$, y wlog asumir$\delta\geqslant \gamma$(para ser coherente con su imagen). Entonces$\angle A=180^\circ-2\gamma$y$\angle B=180^\circ-2\delta$. Denotamos por$M$el punto en$AB$tal que$AM=AD$, entonces$BM=BC$también. Entonces$\angle ADM=\angle AMD=\gamma$y$\angle BMC=\angle BCM=\delta$.

Denotamos por$N$la intersección de$AB$y la bisectriz de$\angle D$; desde$\delta\geqslant\gamma$tenemos$\mathcal B(A,M,N,B)$, y$\angle MDN=\delta-\gamma$. Desde$\angle NMC=\angle BMC=\delta$y$\angle NDC=\delta$lo conseguimos$NCDM$es cíclico, entonces$\angle MCN=\angle MDN=\delta-\gamma$. Ahora,$\angle BCN= \angle BCM-\angle NCM= \delta-(\delta-\gamma)= \gamma$, Lo que significa que$N$está en la bisectriz de$\angle C$.