¿Es cierto el Teorema de Pitágoras para el cateto infinitesimal?

Question

¿Es cierto el Teorema de Pitágoras para el cateto infinitesimal?

Matemáticas
infinitesimales
Geometría euclidiana

Mercurio

En la Física Newtoniana (Mecánica Clásica) un cuerpo gira alrededor de otro cuerpo (masivo) con velocidad circular constante ω (trayectoria estacionaria) eternamente. La velocidad lineal v es perpendicular al radio y la fuerza F está a lo largo del radio y por lo tanto es perpendicular a v. F induce la aceleración 'a' (F=ma) que en el tiempo dt induce dv a lo largo de la fuerza. Por ejemplo, v y dv son estrictamente perpendiculares. Estos dos se suman como vectores y la suma es nuevamente v, pero no en la misma dirección que v sino un poco inclinado hacia el segundo cuerpo (el masivo). Esto parece estar muy en conflicto con el Teorema de Pitágoras (PT). Los físicos insisten en que esto se debe al carácter infinitesimal de dv, pero esto, sin embargo, no viola PT. Por ejemplo, agregar un dv perpendicular a v conduce a la misma magnitud de v (no $\sqrt{v^{2}+\left( dv\right) ^{2}}$ ) pero esto no es una violación de PT. Estoy en total malentendido. De hecho insisten en que esto sucede porque mientras dv es infinitesimal que $\left( dv\right) ^{2}=0$ . No creo que esto también sea cierto. Entonces, la pregunta es: ¿PT se cumple para la pierna infinitesimal o no y cómo es posible que v + dv sea igual a v y simultáneamente PT sea verdadero?

Pauca inteligente

v

$v$ y

\sqrt{v^{2} + d v^{2}}

$\sqrt{v^2+dv^2}$ son iguales a primer orden en

d v

$dv$ , eso es todo.

Respuestas (2)

¿Es cierto el Teorema de Pitágoras para el cateto infinitesimal?

$v$ y $\sqrt{v^2+dv^2}$ son iguales a primer orden en $dv$ , eso es todo.

kyle molinero · Answer 1

Ampliando el comentario de @Intelligenti pauca, la serie de potencia para $\sqrt{x^2+y^2}$ en términos de $y$ centrado en $0$ comienza como

| X | + \frac{y^{2}}{2 | X |} + \frac{y^{4}}{8 | X |^{3}} + \frac{y^{6}}{dieciséis | X |^{5}} + \dots

$\lvert x\rvert + \frac{y^2}{2\lvert x\rvert} + \frac{y^4}{8 \lvert x\rvert^3} + \frac{y^6}{16\lvert x\rvert^5} +\cdots$ Entonces, a primer orden con respecto a

y

$y$ ,

\sqrt{x^{2} + y^{2}} \approx | x |

$\sqrt{x^2+y^2}\approx \lvert x\rvert$ .

Antes de ver cómo esto interactúa con el cálculo $\frac{d\lvert \mathrm{v}\rvert}{dt}$ , calculemos la derivada directamente para que podamos creer que es cero al menos matemáticamente. Escribir $v_x$ y $v_y$ para los dos componentes de $\mathrm{v}$ . Tomando derivadas, obtenemos

\frac{d | v |}{d t} = \frac{d \sqrt{v_{X}^{2} + v_{y}^{2}}}{d t} = \frac{1}{\sqrt{v_{X}^{2} + v_{y}^{2}}} (v_{X} \frac{d v_{X}}{d t} + v_{y} \frac{d v_{y}}{d t}) = \frac{1}{| v |} (v_{X} \frac{d v_{X}}{d t} + v_{y} \frac{d v_{y}}{d t})

$\frac{d\lvert\mathrm{v}\rvert}{dt} = \frac{d\sqrt{v_x^2+v_y^2}}{dt} = \frac{1}{\sqrt{v_x^2+v_y^2}}\left(v_x\frac{d v_x}{dt} + v_y\frac{d v_y}{dt}\right) = \frac{1}{\lvert \mathrm{v}\rvert}\left(v_x\frac{d v_x}{dt} + v_y\frac{d v_y}{dt}\right)$ Cuando evaluamos en el

t

$t$ dónde

v_{x} = v

$v_x=v$ y

v_{y} = 0

$v_y=0$ , que por física es cuando

\frac{d v_{x}}{d t} = 0

$\frac{d v_x}{dt}=0$ (sin rigor, esto es que "

v

$\mathrm{v}$ y

d v

$d\mathrm{v}$ son ortogonales"), entonces podemos ver que la derivada se evalúa como

0

$0$ .

Ahora usemos la serie de potencias para calcular la derivada. Sustituyendo en $v_x$ y $v_y$ , obtenemos

| v | = | v_{X} | + \frac{v_{y}^{2}}{2 | v_{X} |} + \dots

$\lvert\mathrm{v}\rvert = \lvert v_x\rvert + \frac{v_y^2}{2\lvert v_x\rvert} + \cdots$ Tomando la derivada con respecto a

t

$t$ , obtenemos

\frac{d | v |}{d t} = \frac{d | v_{X} |}{d t} + (- \frac{v_{y}^{2}}{2 v_{X}^{2}} \frac{d | v_{X} |}{d t} + \frac{v_{y}}{| v_{X} |} \frac{d v_{y}}{d t}) + \dots

$\frac{d\lvert\mathrm{v}\rvert}{dt} = \frac{d\lvert v_x\rvert}{dt}+\left(-\frac{v_y^2}{2v_x^2}\frac{d\lvert v_x\rvert}{dt} + \frac{v_y}{\lvert v_x\rvert}\frac{d v_y}{dt} \right) + \cdots$ Aquí es donde podemos ver que el hecho de usar

\sqrt{x^{2} + y^{2}}

$\sqrt{x^2+y^2}$ a primer orden es todo lo que importa: ya que

v_{y} = 0

$v_y=0$ , todo desde el segundo término en adelante es cero y nos queda

\frac{d | v |}{d t} = \frac{d | v_{x} |}{d t}

$\frac{d\lvert\mathrm{v}\rvert}{dt} = \frac{d\lvert v_x\rvert}{dt}$ .

En resumen: en caso de duda, intente eliminar los diferenciales y, en su lugar, utilice derivados directamente. La mayoría de las veces declaraciones como " $dv^2=0$ representan la manipulación de una serie de potencias, en este caso los términos de segundo orden y superiores no contribuyen a la primera derivada.

Iba a escribir algo similar pero creo que esto es mejor. ¿Podría también agregar un párrafo que aborde el comentario del OP sobre "misma dirección pero un poco inclinado"? Creo que eso enriquecería esta ya buena respuesta. Es decir, aplicar el mismo análisis a $\arctan(y/x)$ para ver que el ángulo tiene una derivada distinta de cero.
@ErickWong No puedo escribir más en este momento, desafortunadamente. Creo que podría escribir su propia respuesta abordando este punto, y podría incluso estar más cerca de lo que estaba buscando Mercury.
Lo que me calculas es la derivada en t=o cuando no hay dv que se suma en el siguiente momento 0+dt. Por supuesto, la velocidad no cambiaría en t=0, por lo que la derivada es 0. v(y) se suma en 0+dt y no es 0 sino dv. Entonces la derivada en tu fórmula no es 0. Sino segundo orden de dv. No veo cómo se puede sumar dv en la dirección y y afirmar que v tiene la misma magnitud. Solo es posible cuando (dv)2 es 0 porque dv es infinitesimal, lo cual no es riguroso. Aun así, de todos modos, la dirección de v no cambiaría. En la naturaleza cambia, por lo que (dv)2 no es 0.
@Mercury Las soluciones a las ecuaciones diferenciales "en la naturaleza" no funcionan según el método de Euler (ahí es donde tomaría $v+dv$ actualizar $v$ en el próximo paso de tiempo, esencialmente). De hecho, esto que está señalando explica por qué el uso del método de Euler para la mecánica gravitacional no es preciso: ¡se pasa de la raya en esta situación!
tienes que recordar eso $dv$ en $\sqrt{v^2+(dv)^2}$ no es un número real. Si quieres, es un infinitesimal en lo que se llama análisis no estándar, donde tiene una interpretación rigurosa. La expansión en serie de potencias de esto es $v + (dv)^2/2v + (dv)^4/8v^3 + ...$ , por lo que vemos que la expresión solo tiene infinitesimales de segundo orden y superiores. Un infinitesimal de orden n contribuye solo a la derivada n, por lo que la falta de infinitesimales de primer orden significa la magnitud de $\mathrm{v}$ no cambia a través del tiempo. (Si solo le importa la tasa de cambio de primer orden, puede establecer $(dv)^2=0$ .)
Es cierto que v cambia con el segundo orden de dv. Pero no puedo entender por qué el segundo orden de dv es igual a 0 mientras que dv es> 0 (nunca es 0). Pensando prácticamente (físicamente) es más pequeño y se puede tirar. Pero matemáticamente riguroso para mí no es cero. Incluso puede considerarse tan pequeño como dv, porque por cada tanto pequeño (dv)2 se puede tomar un valor menor de dv. Por ejemplo, (dv)2 es tan cercano a 0 como lo es dv. Entonces, ¿se ha demostrado que (dv)2 es 0, o esto es solo una aproximación (física)?
@Mercury No hay forma de hablar sobre la rigurosidad matemática sin decir con precisión lo que quiere decir con $dv$ . En la mayoría de las formas de hacer $dv$ riguroso, "uno puede tomar un valor más bajo de $dv$ " es una declaración sin sentido ya que no es una cantidad, y no hay forma de preguntar siquiera si $(dv)^2=0$ . El caso es que $dv$ es un dispositivo que te permite razonar sobre funciones y sus primeras derivadas. Las derivadas de segundo orden en un momento determinado no afectan a las funciones ni a sus primeras derivadas en ese momento. Por lo tanto, actuando como si $(dv)^2=0$ , puede calcular lo que es relevante.
Pero como ves, tienes que tener cuidado con este tipo de razonamiento porque puede conducir a resultados contrarios a la intuición. Debe saber que puede respaldarlos con un cálculo de cálculo "real", como lo demostré en mi respuesta. Quizás tome un libro de texto sobre análisis no estándar si desea ver cómo tratar rigurosamente los diferenciales como objetos independientes. (Solo estoy ligeramente familiarizado, así que no puedo recomendar ninguno, lo siento).

Timur Bakiev · Answer 2

Timur Bakiev

$dv$ ni siquiera es un número en matemáticas, este es otro tipo de objeto, por lo que los físicos claramente abusan de algunas formas naturales de comprender y visualizar el diferencial. En matemáticas, expresiones como $v^2 + (dv)^2$ o $v + dv$ normalmente no tiene sentido.

Pedro

(+1) Prefiero esta respuesta porque da en el clavo. Aparentemente, soy el único :(

Timur Bakiev

@Peter gracias por tu apoyo :)

Marcas.

Ciertamente, hay contextos en los que se aplican sus afirmaciones, pero esto parece ignorar el tipo de cálculos en muchos libros de texto de cálculo donde se usan diferenciales para representar pequeñas cantidades de valor real cuando se usan derivadas para aproximaciones.

Mercurio

@TimurBakiev ¡Para mí, no está absolutamente claro lo que quieres decir! ¿Quieres decir que los infinitesimales son pseudociencia o qué? ¿Cuál es su conexión con la realidad de la naturaleza? Para mí, como físico, es interesante lo que significa: "v+dv no tiene sentido por lo general"?!

Timur Bakiev

@Mercury significa que esto es un error, es como agregar un escalar a un vector.

d v

$dv$ es un funcional lineal. Debe comprender que los "infinitesimales" no son algo que pueda visualizar directamente. Tu pregunta encierra una paradoja, porque estás tratando

d v

$dv$ como algo pequeño, pero no infinitamente pequeño. Ese no es un enfoque correcto. En realidad, la ciencia había tardado siglos en enfrentarse a todas esas paradojas. Finalmente, pudo hacerlo, cuando se formalizó el análisis.

Mercurio

Ok, al final, ¿qué agrega la naturaleza al vector v? Por supuesto, en matemáticas puedes agregar funcional lo que quieras, ¡pero la naturaleza agrega velocidad! ¿Qué cambia también si se formaliza el análisis?

Timur Bakiev

@Mercury, la naturaleza es la naturaleza, puede pensar que agrega velocidad, pero un día descubrirá que los planetas se mueven en línea recta y no se agrega nada en absoluto. La naturaleza está más allá de nuestras mentes. Pero lo único cierto es que la naturaleza es autoconsistente, libre de paradojas. Eso es lo que tiene en común con las matemáticas.

Mercurio

Lo que insistes si lejos de las observaciones. ¿Quién afirma que los planetas se mueven en línea recta? Seguramente si la Tierra se mueve en línea recta, pronto no habrá luz solar.

Timur Bakiev

@Mercury eso es lo que afirma la teoría de la relatividad, sin embargo, el significado de una línea es un poco más general

Mercurio

La relatividad dice que el espacio-tiempo es curvo por las grandes masas y que los cuerpos viajan en ese espacio-tiempo curvo siguiendo su curvatura. Eso es lo mismo que viajar en una órbita, pero solo la razón es diferente a la razón propuesta por Newton. Pero nunca escuché que Newton falló porque no puede sumar dv a v.

Timur Bakiev

@Mercury Newton tuvo éxito porque se dio cuenta de que algo andaba mal con

v + d v

$v + dv$ . Luego, él y Leibniz establecieron el cálculo diferencial e integral. Probablemente, querían encontrar una respuesta a la misma pregunta que tú :)

Mercurio

Para mí, exactamente lo que establecieron no funciona, porque agregar dv hace que v sea mayor -> v + dv> v, lo cual no es el caso en una órbita constante.

Timur Bakiev

@Mercury todavía piensas mal. Debe comprender que si agrega una cantidad infinita de "ceros", el resultado puede ser cero, un número finito o infinito. Esto se debe a que esos ceros no son números habituales. Por lo tanto, no puede tratarlos como números habituales. Para obtener un número habitual de

d v

$dv$ , uno tiene que integrarse. En la respuesta anterior (que voté a favor), el autor intenta explicar que es posible agregar tales ceros de una manera muy inesperada: la dirección cambia, pero el módulo permanece sin cambios y por qué sucede.

Mercurio

Explica que el módulo no cambia al primer orden de dv. (que es obvio). Pero no al segundo orden de dv. ¿Y qué cambia la dirección? El segundo orden de dv? ¿Es que el módulo aumenta a segundo orden de dv, mientras que el propio vector a primer orden? No me parece. Entonces, si el módulo no cambia, tampoco cambia la dirección, porque también depende de segundo orden.

Timur Bakiev

@Mercury eso es exactamente porque el módulo aumenta al segundo orden y el vector mismo al primer orden. el derivado de

v

$v$ siempre es perpendicular a

v

$v$ . El vector rota y las rotaciones preservan el módulo. lo que estás llamando

d v

$dv$ , creo, es una aproximación de la integral de la derivada. Por el teorema del valor medio de Lagrange, cuanto menor

d v

$dv$ se pone, cuanto más cerca está de

v^{'} d t

$v’ dt$ .

erick wong

@Mercury ¿Por qué dice que la dirección es la misma hasta el segundo orden? La dirección cambia en el término de primer orden.

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