¿Por qué Euclides no trató de asignar números a las longitudes?

Nota preliminar: Con "Euclides" no me refiero a una persona sino a los matemáticos del período euclidiano del cual Euclides (si hubiera sido una persona) era un representante.

Imagino que Euclides pudo haber pensado en relacionar longitudes y números de forma biyectiva aunque se consideraran cosas completamente diferentes. Para longitudes racionales hubiera funcionado porque para cada longitud racional hay un número (que para Euclides era necesariamente racional) y viceversa.

Pero, por desgracia, existen longitudes construibles que probablemente no son racionales (por ejemplo, la longitud de la diagonal de la unidad cuadrada) y para las que Euclides no tenía un número (racional) al que asignar. Así que esta puede haber sido la razón principal por la que abandonó el plan (si lo tenía) de relacionar longitudes y números de forma biyectiva: no había suficientes números.

Pero puede haber otra razón (ciertamente especulativa): para que la asignación funcione, uno tiene que elegir un segmento de línea arbitrario y asignar el número 1 (la unidad ) a su longitud. ¿Es posible que a Euclides no le gustara la arbitrariedad de asignar la unidad "primordial" (del reino de las entidades platónicas, a partir del cual se construyen todos los números) a un segmento de línea "aleatorio" (del reino de las entidades "terrenales")?

Pero tenga en cuenta que él no define (en la Definición VII.1 ) la unidad, sino una unidad. Así que esta podría no haber sido la razón. Pero surge la pregunta de por qué no definió la unidad, que parece mucho más intuitiva. (¿Cómo habría distinguido entre diferentes unidades?)

Alternativamente, podría haber comenzado con dos puntos "primordiales", llamados 0 y 1, a partir de los cuales se pueden construir todos los demás puntos y longitudes con regla y compás , y asignar el número 1 a la longitud del segmento de línea "primordial" distinguido. 01 ¯ – pero eso es aún más especulativo.

Admito que podría malinterpretar por completo la forma de pensar de Euclides. Cualquier pista en la que lo haga será bienvenida.

En mi defensa: la Definición VII.1 de Euclides es bastante oscura:

ingrese la descripción de la imagen aquífuente

Una unidad es aquello en virtud de lo cual cada una de las cosas que existen se llama una.
fuente

Obviamente, no podemos definirlo todo. Hay razones fuertemente sustentadas para pensar que las definiciones "básicas" de los Elementos de Euclides son adiciones posteriores. Véase L.Russo, Las definiciones de las entidades geométricas fundamentales contenidas en el Libro I de los Elementos de Euclides .
Hay que considerar también la teoría de las magnitudes del Libro V.
Ver DH Fowler, RATIO IN EARLY GREEK MATEMATICS (1979) para Arithmetike and logistike .
Y ver también DH Fowler, Logistic and Fractions in Early Greek Mathematics: A New Interpretation into Jean Christianidis (editor), Classics in the History of Greek Mathematics , Springer (2004)
En un artículo de Wikipedia sobre DH Fowler encontré: "Seine Theorie, die der überkommenen Ansicht widesprach, dass die Entdeckung der Inkommensurabilität auf die griechischen Mathematiker einen Schock bewirkt hätte, der sie dazu brachte, sich rein geometrischen Theorien zuzuwenden, war umstritten".
Traducción: "Su teoría, que contradecía la visión tradicional de que el descubrimiento de la inconmensurabilidad fue un shock para los matemáticos griegos y les permitió centrarse en teorías puramente geométricas, fue controvertida".
No soy un especialista, pero a primera vista es (bastante) evidente que los Elementos de Euclides están hechos de diferentes capas: geometría plana, aritmética (es decir, teoría "pura" de los números (naturales)), teoría de la magnitud y proporciones. La aritmética pura fue probablemente de origen pitagórico: par-impar, etc. pero la teoría de las magnitudes puede leerse como la "abstracción" del uso "práctico" de los números para "medir" y contar.
Desde una perspectiva física, es más intuitivo hablar de una unidad de longitud que de la unidad de longitud, ya que no existe una longitud universal a la que todos puedan estar de acuerdo en llamar la unidad. (Tal vez la longitud de Planck, pero eso era desconocido para Euclides). Antes de que la gente comenzara a estandarizar las unidades de longitud, cada ciudad básicamente tenía su propia definición de Elle o pie, por lo que debe haber sido más obvio que no existe una unidad única de longitud. Que hoy.

Respuestas (1)

Expresas correctamente la razón principal. En la época de Euclides, los únicos números conocidos eran los números racionales y se descubrió que no se pueden medir segmentos construidos en geometría con números racionales. Por lo tanto, los números fueron abandonados en geometría.

En cambio, Euclides (o sus predecesores) desarrollaron una teoría de las proporciones muy sofisticada, que puede demostrarse que es equivalente a nuestra teoría de los números reales. Entonces podrían hablar sobre la longitud y el área de un círculo, por ejemplo. Fueron necesarios dos años y medio después de Euclides para desarrollar una teoría satisfactoria de los números reales. Entonces Euclid simplemente no pudo "asignar números a longitudes".

Recomiendo un libro muy bueno que discute estas cosas: R. Hartshorne, Companion to Euclid, AMS, 1970.

¿Cómo puede demostrarse que la teoría de las proporciones es equivalente a nuestra teoría de los números reales si la primera ni siquiera definió la suma de proporciones? Sin mencionar que las proporciones solo se pueden aplicar a segmentos construidos que, dadas las herramientas de Euclides, darían mucho menos que los números reales. Y mucho menos aún si le sumamos neusis y curvas mecánicas.
Las proporciones se pueden definir para cualquier segmento, conmensurable o no, este es el punto. La suma de segmentos se puede definir de una forma muy sencilla, geométricamente. Para más detalles, vea el libro que mencioné. O busque en Euclides, libro V. Especialmente la Proposición 4.
@Conifold: es un ejercicio simple que la Proposición V.4 es equivalente a la definición de Dedekind de un número real. Pero claro que es mucho más complicado que el de Dedekind.
Además de segmentos , no de sus proporciones , necesitaría arreglar un segmento de "unidad" para reducir uno al otro. Eso no tenía sentido para los griegos, ni siquiera para Arquímedes, y no aparece hasta Descartes. Dedekind construye los números reales como cortes, esta abstracción hipostática es su gran salto al que nada griego se acerca. Que reutilice el truco eudoxiano de V.4 (demostrando la igualdad de proporciones para magnitudes preconstruidas ) palidece en comparación. Creo que lo que quiere decir con "equivalente" es "la teoría de las proporciones se puede traducir a un fragmento de análisis real con algunos paralelos en las pruebas".
¿Por qué Euclides no trató de asignar números a las longitudes?
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v