Sobre la carga central del álgebra de supersimetría extendida 4D

Question

Sobre la carga central del álgebra de supersimetría extendida 4D

Física
superálgebra
teoria de las cuerdas
supersimetría
matrices de dirac
teoría del campo conforme

JQ Skywalker

El álgebra 4D SUSY se puede escribir como

\begin{matrix} (B.2.37) & {q_{α}^{A}, q_{β}^{B †}} = 2 metro d^{A B} d_{α β} + 2 i Z^{A B} Γ_{α β}^{0}, \end{matrix}

$\{ Q_{\alpha}^{A} , Q_{\beta}^{B \dagger} \} = 2 m \delta^{AB} \delta_{\alpha \beta} + 2 i Z^{AB} \Gamma^0_{\alpha \beta}, \tag{B.2.37}$

en un marco de referencia particular. Uno puede encontrar esta fórmula en el Apéndice B, página 448 de la Teoría de Cuerdas de Polchinski vol.II.

estoy confundido con el $'i'$ ante la carga central. Si hacemos un conjugado hermitiano en ambos lados:

{q_{α}^{A †}, q_{β}^{B}} = 2 metro d^{A B} d_{α β} - 2 i Z^{A B} (Γ_{α β}^{0})^{*}

$\{ Q_{\alpha}^{A \dagger} , Q_{\beta}^{B} \} = 2 m \delta^{AB} \delta_{\alpha \beta} - 2 i Z^{AB} (\Gamma^0_{\alpha \beta})^*$

y luego intercambiar $(A,\alpha)$ con $(B,\beta)$ , el LHS es invariante. Pero el RHS es

2 metro d^{A B} d_{α β} - 2 i Z^{B A} (Γ_{β α}^{0})^{*} = 2 metro d^{A B} d_{α β} - 2 i Z^{B A} (Γ^{0})_{α β}^{†} .

$2 m \delta^{AB} \delta_{\alpha \beta} - 2 i Z^{BA} (\Gamma^0_{ \beta \alpha})^* = 2 m \delta^{AB} \delta_{\alpha \beta} - 2 i Z^{BA} (\Gamma^0)^{\dagger}_{ \alpha \beta}.$

Desde $Z_{AB}$ es antisimétrico y $(\Gamma^0)^{\dagger} = -\Gamma^0$ , Parece que tenemos el signo equivocado antes del término de carga central:

2 metro d^{A B} d_{α β} - 2 i Z^{A B} (Γ^{0})_{α β} .

$2 m \delta^{AB} \delta_{\alpha \beta} - 2 i Z^{AB} (\Gamma^0)_{ \alpha \beta}.$

Creo que cometí un error, pero no puedo averiguar dónde está.

AccidentalFourierTransformar

Es

Z_{A B}^{†} = + Z_{A B}

$Z_{AB}^\dagger=+Z_{AB}$ o

Z_{A B}^{†} = - Z_{A B}

$Z_{AB}^\dagger=-Z_{AB}$ ?

JQ Skywalker

Z_{A B}

$Z_{AB}$ es real y antisimétrico, por lo tanto

Z_{A B}^{†} = - Z_{A B}

$Z_{AB}^{\dagger} = - Z_{AB}$ . Pero no creo que la daga en ambos lados involucre los índices.

A

$A$ y

α

$\alpha$ .

Cosmas Zachos

Creo que en esta convención Z es imaginario y antisimétrico y por lo tanto hermitiano. En entornos teóricos de campo convencionales donde el

Γ^{0}

$Γ^0$ s son hermíticas, Z es antisimétrica real y falta la i. Pero eliges lo contrario, por lo que Z debe ser imaginario y hermético, algo poco convencional. ¡Es iZ lo que es antihermitiano! El primer y segundo término de la derecha tienen las mismas propiedades de hermiticidad.

Respuestas (1)

Sobre la carga central del álgebra de supersimetría extendida 4D

$Z_{AB}$ es real y antisimétrico, por lo tanto $Z_{AB}^{\dagger} = - Z_{AB}$ . Pero no creo que la daga en ambos lados involucre los índices. $A$ y $\alpha$ .
Creo que en esta convención Z es imaginario y antisimétrico y por lo tanto hermitiano. En entornos teóricos de campo convencionales donde el $Γ^0$ s son hermíticas, Z es antisimétrica real y falta la i. Pero eliges lo contrario, por lo que Z debe ser imaginario y hermético, algo poco convencional. ¡Es iZ lo que es antihermitiano! El primer y segundo término de la derecha tienen las mismas propiedades de hermiticidad.

qmecanico · Answer 1

Es importante recordar que el orden de los operadores se invierte en la conjugación hermítica:

(S T)^{†} = T^{†} S^{†} .

$(ST)^{\dagger}~=~T^{\dagger}S^{\dagger}.$ Por lo tanto, una conjugación hermítica en el LHS de eq. (B.2.37) intercambia efectivamente índices

(A, α) \leftrightarrow (B, β)

$(A,\alpha)\leftrightarrow (B,\beta)$ . Lo mismo debería ocurrir en el RHS. Esto se implementa eligiendo los cargos centrales.

Z_{A B}

$Z_{AB}$ ser anti-hermitiano y la matriz gamma

Γ_{α β}^{0}

$\Gamma^0_{\alpha\beta}$ ser hermitiano.

Yo sé eso $Z_{AB}$ es anti-ermitiano pero creo que el $\Gamma^0$ también es elegido para ser anti-ermitiano a lo largo de su libro, puede comprobarlo en (B.1.7a) donde $\Gamma^0 = \left[ \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array} \right] \otimes \left[ \begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right]$ en 4D.

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