Por qué la parte bosónica del grupo superconforme SU(2,2|1)SU(2,2|1)SU(2,2|1) es SO(4,2)×U(1)RSO(4,2) ×U(1)RSO(4,2) \times U(1)_R?

Las preguntas de OP son bastante amplias. Aquí nos centraremos en la primera pregunta de OP, pero esperamos que el lector tenga una idea de cómo se puede generalizar.

1. Considere el espacio del súper producto interno

   $$\begin{align}V~:=~&\mathbb{C}^{2,2|1}~=~V_0\oplus V_1, \cr V_0~:=~&\mathbb{C}^{2,2|0}, \cr V_1~:=~&\mathbb{C}^{0|1},\end{align}$$ que tiene 2+2=4 dimensiones bosónicas y 1 fermiónica, y que está dotado de la métrica estándar $$\eta ~=~ {\rm diag}(1,1,-1,-1|1) ~\in~ {\rm End}(\mathbb{C}^{2,2|1}).$$

2. supermatrices
   

   $$m~=~\begin{pmatrix} m_{00} & m_{01} \cr m_{10} & m_{11} \end{pmatrix},$$ correspondiente al álgebra de supermatrices $$\begin{align}A~:=~&{\rm End}(V)~=~A_0 \oplus A_1, \cr A_0~:=~&{\rm End}(V_0)\oplus {\rm End}(V_1), \cr A_1~:=~&{\cal L}(V_0;V_1)\oplus {\cal L}(V_1;V_0), \end{align}$$ de endomorfismos se pueden descomponer en dos bloques bosónicos diagonales $$m_{00}\in{\rm End}(V_0)\qquad\text{and}\qquad m_{11}\in{\rm End}(V_1),$$ y dos bloques fermiónicos fuera de la diagonal$m_{01}$y$m_{10}$. El sector fermiónico$A_1$contiene mapas lineales entre$V_0$y$V_1$.

3. El grupo de las super mentiras

   $$U(2,2|1) ~~:=~~ \{U\in {\rm End}(\mathbb{C}^{2,2|1}) \mid U^{\dagger}\eta U = \eta \}$$ tiene super álgebra de mentira correspondiente $$u(2,2|1) ~~:=~~ \{m\in {\rm End}(\mathbb{C}^{2,2|1}) \mid m^{\dagger} =-\eta m \eta^{-1} \}.$$ (Advertencia: La conjugación súper hermítica "$\dagger$implica factores de signo apropiados.) La parte bosónica del superálgebra de Lie es $$\begin{align} A_0\cap u(2,2|1) ~\cong~& u(2,2) \oplus u(1)_R \cr ~\cong~& su(2,2) \oplus u(1) \oplus u(1)_R \cr ~\cong~& so(4,2) \oplus u(1) \oplus u(1)_R.\end{align}$$ Aquí subíndice$R$representa el$R$-carga en el sector fermiónico. La parte bosónica del grupo Super Lie es $$\begin{align} A_0 \cap U(2,2|1) ~\cong~& U(2,2) \times U(1)_R \cr ~\cong~&\frac{ SU(2,2)\times U(1)}{\mathbb{Z}_4} \times U(1)_R \cr ~\cong~&\frac{ SPIN(4,2)\times U(1)}{\mathbb{Z}_4} \times U(1)_R, \end{align}$$ cf. por ejemplo , esta publicación Phys.SE y esta publicación Math.SE.

4. Ahora volvamos a la primera pregunta de OP. El grupo de las super mentiras

   $$SU(2,2|1) ~~:=~~ \{U\in U(2,2|1) \mid {\rm sdet} (U) =1\}$$ tiene super álgebra de mentira correspondiente $$su(2,2|1) ~~:=~~ \{m\in u(2,2|1) \mid {\rm str} (m) =0 \}.$$ La parte bosónica del superálgebra de Lie se convierte en $$A_0\cap su(2,2|1) ~\cong~ su(2,2) \oplus u(1)_R ~\cong~ so(4,2) \oplus u(1)_R.$$ Esta es la respuesta a la primera pregunta de OP en el nivel de álgebra de Lie.

5. Con respecto a los grupos conformes sin SUSY, consulte, por ejemplo, esta publicación de Phys.SE. En 3+1D la componente conexa que contiene el elemento identidad es

   $${\rm Conf}_0(3,1)~\cong~ SO^+(4,2)/\mathbb{Z}_2~\cong~SU(2,2)/[\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2].$$ Para grupos superconformes, véase, por ejemplo, Wikipedia y nLab .