Integración parcial del operador de Dirac

Cuando tienes una acción con bosonic X y fermiónico ψ (Majorana) y realizar una transformación SUSY ϵ (el parámetro infinitesimal constante de transformación, un espinor anticonmutador real) ¿puedes hacer una integración parcial normal en el operador de Dirac tal como lo haces con una derivada? Por ejemplo:

S = ∫ d 2 σ ϵ ¯ [ ( γ α ∂ α γ β ∂ β ) X ( σ ) ] ψ ( σ ) = ∫ d 2 σ ϵ ¯ [ ⧸ ∂ ⧸ ∂ X ( σ ) ] ψ ( σ ) = − ∫ d 2 σ ϵ ¯ [ ⧸ ∂ X ( σ ) ] [ ⧸ ∂ ψ ( σ ) ] + ' b o tu norte d a r y '

Esto facilitaría mucho los cálculos porque estoy perdido con todas las multiplicaciones de matrices y las propiedades de las matrices Gamma... Quería verificar porque no pude encontrar ninguna información al respecto.

Respuestas (1)

En general no puedes, pero en tu caso especial funciona.

Debe ser consciente de cuáles son realmente los objetos en su expresión y cómo se relacionan entre sí. X es un campo bosónico y como tal no siente en absoluto la presencia de matrices gamma. Su primera línea podría reescribirse como

S = ∫ d 2 σ ϵ ¯ γ α γ β ψ ( σ ) ∂ α ∂ β X ( σ )
La expresion ϵ ¯ γ α γ β ψ no tiene ningún índice de espinor libre! Ahora, puede usar la integración parcial para obtener
S = − ∫ d 2 σ ∂ β ( ϵ ¯ γ α γ β ψ ( σ ) ) ∂ α X ( σ )
cual es
S = − ∫ d 2 σ ϵ ¯ γ α ∂̸ ψ ( σ ) ∂ β X
y esta es tu última línea.

El caso especial de que en realidad solo hay dos espinores. Si tienes una expresión como S = ∫ d d X ψ ¯ 1 ∂̸ ψ 2 ψ ¯ 3 ∂̸ ψ 4 con cuatro espinores ψ i solo puede mover la derivada parcial, pero no la matriz gamma entre ψ 1 y ψ 2 a ψ 3 y ψ 4 . Para mover matrices gamma con más de dos espinores en su expresión, necesita las llamadas Identidades de Fierz (Wiki solo tiene un caso especial, existen para una amplia variedad de marcos).
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