Branas pares en IIA y branas impares en IIB

Primero, el producto tensorial de dos espinores de Dirac es la suma directa de diferenciales$p$-formas para todos los valores de$p$. Es porque este producto tensorial es lo mismo que el espacio de todas las matrices que actúan sobre el espacio del espinor de Dirac. Pero todas las matrices (p. ej.$4\times 4$matrices de tipo Dirac en 4 dimensiones) pueden escribirse como combinaciones lineales de$1$,$\gamma_\mu$,$\gamma_{\mu\nu}$, y así sucesivamente hasta "$\gamma_5$", es decir, el producto de todos$d$matrices.

En segundo lugar, si la palabra "Dirac" se reemplaza por "Weyl", es decir, un espinor quiral en el párrafo anterior, el producto tensorial aún incluirá formas diferenciales pero solo "todas las formas pares".$p$" o "todo impar$p$" formas diferenciales, dependiendo de si las quiralidades de los dos espinores de Weyl son iguales u opuestas. Eso explica la descomposición de los dos$8\otimes 8$productos tensoriales relevantes para los sectores Ramond-Ramond de tipo IIB. El$p$-los formularios solo suben a$d/2$, siendo la forma media (cinco) autodual, si consideramos "Weyl por Weyl".

Tercero, el estado fundamental de los fermiones NSR periódicos en la cuerda es degenerado y se transforma como el espinor (o el producto tensorial de dos de estos espinores). ¿Por qué? Debido a que el estado fundamental es una representación de los operadores de modo cero$\psi^\mu_0$que no cambian la energía. Pero sus anticonmutadores forman la misma álgebra que las matrices de Dirac.$\Gamma^\mu$, por lo que la representación también tiene que ser la misma que un espinor. Las proyecciones de OSG implican que solo queda en el espectro físico el espinor quiral/Weyl de la misma quiralidad. el par/impar$p$surge porque los productos intercalados$\bar s_1 \gamma_\mu\dots s_2$se puede demostrar que es cero si$s_1,s_2$son algunos en particular$\gamma_5$(quiralidad) estados propios, por el hecho de que$\gamma_5$anticonmuta con$\gamma_\mu$etc. (por eso o todo par o todo impar$p$se puede demostrar que los formularios desaparecen).

En cuarto lugar, el operador asociado con estos estados fundamentales de tipo espinor es el campo de espín. Esto se puede ver al darse cuenta de que los campos de espín son los operadores de dimensión más baja que se transforman como espinores, y el estado fundamental en el sector periódico R (o RR) es el estado de energía más bajo que se transforma como espinor (o el producto tensorial de dos de a ellos).

Quinto, la aparición de$\exp(-\phi/2)$es solo una bosonización del operador completamente análoga a los campos de espín que viven en el$\beta\gamma$teoría del campo conforme. Si los fantasmas superconformes fueran fermiones, el campo de giro podría bosonizarse para$\exp(\pm \phi/2)$de algún tipo, y esta regla sigue siendo válida para la "rebosonización" de$\beta\gamma$en el$\phi$campos. Por qué la rebosonización es una equivalencia es un problema complejo en CFT pero puede probarse.

Sexto,$G_{\mu\dots}$son solo las formas diferenciales de los parámetros de polarización para el estado/operador dado, de manera análoga al vector de polarización$\vec\epsilon$de un fotón. Sus índices se contraen con los mismos índices de los campos de giro, de modo que al operador de vértice no le quedan índices libres. Alternativamente, puede omitir el$G$parámetros y hable sobre los operadores de vértice con índices de Lorentz libres y sin contraer.

Séptimo, la traducción entre estados y operadores: la forma en que$V$se derivó: es una tarea sencilla pero requiere trabajo. Debe comprender por qué existe la "correspondencia estado-operador" y conocer algunos métodos CFT para determinar el diccionario. Todas estas cosas se discuten en el libro de Polchinski para que un lector pueda aprenderlo desde cero.

Octavo,$16$y$16'$no vengas de la nada Son solo las dos representaciones de espinores quirales no equivalentes reales de$Spin(9.1)$. El$2^{10/2}=32$El espinor de Dirac bidimensional se divide en dos "mitades" en todas las dimensiones pares del espacio-tiempo. Necesita aprender algo de teoría básica de representación (especialmente espinores) para comprender estas cosas, pero los apéndices del libro de Polchinski son lo suficientemente independientes como para que uno también pueda aprender estas cosas desde cero, al menos si ha estado expuesto a los espinores básicos de Dirac en 4D en un curso genérico de teoría cuántica de campos.