Sobre el aproximado de una serie infinita

Considerando

$$S_p=2\sum_{n=0}^p(-1)^n\frac {R^{(k+n)\alpha}y^{k+n}}{\Gamma(k)\,n!\,\theta^{k+n}(k+n)\,((k+n)\alpha+2)}$$ dejar$x=\frac{y }{\theta }R^{\alpha }$para hacer $$S_p=\frac 2{\Gamma(k) }\sum_{n=0}^p(-1)^n\frac {x^{(k+n)}}{\,n!\,(k+n)\,((k+n)\alpha+2)}$$ lo que hace $$S_\infty=1-\frac{\Gamma (k,x)}{\Gamma (k)}+\frac{\Gamma \left(k+\frac{2}{\alpha },x\right)-\Gamma \left(k+\frac{2}{\alpha }\right)}{\Gamma (k)}\,x^{-2/\alpha }$$ Usando sus números, esto da$S_\infty=0.89$(con$55$arrastrando$0$'s).

Ahora,$S_p$escribir en términos de$\, _2F_2(.)$funciones hipergeométricas y probablemente esta sea la dificultad desde un punto de vista numérico. Los términos son extremadamente oscilantes desde el principio (son negativos para valores impares de$p$y positivo para valores pares de$p$). Para los primeros

$$\left( \begin{array}{cc} p & S_p \\ 0 & +3.05072\times 10^{25} \\ 1 & -5.01200\times 10^{27} \\ 2 & +4.13536\times 10^{29} \\ 3 & -2.28392\times 10^{31} \\ 4 & +9.49546\times 10^{32} \\ 5 & -3.16900\times 10^{34} \\ 6 & +8.84121\times 10^{35} \\ 7 & -2.12041\times 10^{37} \\ 8 & +4.46180\times 10^{38} \\ 9 & -8.36644\times 10^{39} \\ 10 & +1.41526\times 10^{41} \end{array} \right)$$

Continuando con valores pares de$p$, notaremos que empiezan a disminuir

$$\left( \begin{array}{cc} 10 & 1.41526\times 10^{41} \\ 20 & 4.48410\times 10^{51} \\ 30 & 9.94112\times 10^{59} \\ 40 & 8.48485\times 10^{66} \\ 50 & 6.33071\times 10^{72} \\ 60 & 6.71603\times 10^{77} \\ 70 & 1.39937\times 10^{82} \\ 80 & 7.21169\times 10^{85} \\ 90 & 1.09282\times 10^{89} \\ 100 & 5.57116\times 10^{91} \\ 110 & 1.06427\times 10^{94} \\ 120 & 8.32196\times 10^{95} \\ 130 & 2.86727\times 10^{97} \\ 140 & 4.63325\times 10^{98} \\ 150 & 3.70455\times 10^{99} \\ 160 & 1.53530\times 10^{100} \\ 170 & 3.43503\times 10^{100} \\ 180 & 4.30083\times 10^{100} \\ 190 & 3.11128\times 10^{100} \\ 200 & 1.33820\times 10^{100} \\ 300 & 1.19093\times 10^{86} \\ 400 & 2.52084\times 10^{57} \\ 500 & 6.78163\times 10^{17} \\ 600 & 0.89000 \end{array} \right)$$

Para explicar eso, necesitamos, para sus números, calcular$p$tal que

$$Q_{p+1}=\frac{\left(\frac{2000}{11}\right)^{p+21}}{20! (p+21) (p+22) (p+1)!} \leq \epsilon$$

El$Q_{p+1}$término pasa por un máximo en$p=179.5$(¡mira la tabla!) y para este valor$Q_{p+1}=8.61902\times 10^{100}$.

Para$\epsilon=10^{-20}$,nosotros necesitamos$p=581$(incluso para$\epsilon=10^{-2}$,$p=544$).

Una estimación cruda de$p$es dado por

$$p=-\frac{\log (\epsilon )}{W\left(-\frac{11 }{2000 e}\log (\epsilon )\right)}$$ dónde$W(.)$es la función de Lambert.

Para el caso más general y una mejor aproximación, tomando logaritmos y usando la aproximación de Stirling para el primer término, terminamos con la ecuación

$$\color{blue}{p \log (ex)- \left( p+\frac32\right) \log (p)=K} \qquad\text{where} \quad \color{blue}{K=\log \left(\frac{\sqrt{{\pi }} \,\epsilon \, x^{-(k+1)}\, \Gamma (k)}{\alpha \,\sqrt 2}\right)}$$ Desde$p$es grande, podríamos aproximar la ecuación por $$\color{blue}{\left(p+\frac{3}{2}\right) \log (e x)-\left(p+\frac{3}{2}\right) \log \left(p+\frac{3}{2}\right)=K}$$ cuya solución viene dada en términos de la función de Lambert $$\color{blue}{p=-\frac{K}{W\left(-\frac{K}{e x}\right)}-\frac 32}$$ Aplicado al caso de trabajo, esto da$p=599$para$\epsilon=10^{-20}$.

Creo que todo está explicado.

Editar

Teniendo en cuenta el término general

$$a_n=\frac {x^{(k+n)}}{\,n!\,(k+n)\,((k+n)\alpha+2)}$$ y usando diferenciación logarítmica tenemos$\frac{\partial a_n}{\partial n}=0$si $$-2 \alpha (k+n)-(k+n) \psi (n+1) (\alpha (k+n)+2)+(k+n) \log (x) (\alpha (k+n)+2)-2=0$$ Asumiendo que$n$es grande, la expansión de la cantidad anterior es $$\alpha \log \left(\frac{x}{n}\right)n^2 + \left(2 (\alpha k+1) \log \left(\frac{x}{n}\right)-\frac{5 \alpha }{2}\right)n+\cdots$$ Entonces$a_n$se maximiza para$n \sim x$.

Usando sus números, una maximización rigurosa de$a_n$muestra que sucede en$n=179.5$(recuerda eso$x=\frac{2000}{11}=181.8$) para cual$a_n=5.24\times 10^{117}$.