Demostración de límites en un producto infinito

Dejar$f(x) = \frac{\ln(x)}{x^2}$, dónde$x \in \mathbb{R}$

Desde$f$es continua, decreciente y positiva para todos los valores de$x >3$. Entonces, podemos aplicar la estimación del resto para la prueba integral. Por tanto, por definición tenemos:

$$\int_{n+1}^{\infty} f(x)dx + S_n \leq S \leq \int_n^{\infty}f(x)dx + S_n \ \ \ (*)$$

Tenga en cuenta que$P_n = e^{S_n}$, dónde$S_n = \sum_{k=2}^n \frac{\ln k}{k^2}$

Por lo tanto, desde$e$siempre es una función creciente, podemos multiplicar$e$a$(*)$. Así obtenemos:

$$\normalsize e^{\int_{n+1}^{\infty} f(x)dx + S_n} \leq P \leq e^{\int_n^{\infty}f(x)dx + S_n}$$ Considerar $n =5$. Con la ayuda de un software de computadora, tenemos que: $2.488472296≤p≤2.633367180$.

Aquí hay un pensamiento. Nota

$$\log p_n = \sum_{k=2}^n \frac{\log k}{k^2}.$$ Curiosamente, Mathematica da el valor de forma cerrada para esto: $$p = \left(\frac{G^{12}}{2\pi e^{\gamma}}\right)^{\pi^2/6},$$ dónde $G \approx 1.28243\ldots$es la constante de Glaisher, y $\gamma = \lim_{n \to \infty} H_n - \log n \approx 0.577216\ldots$es la constante gamma de Euler.

Pero si solo quiere obtener límites, intentaría mejorar la convergencia de la serie de alguna manera o usar una aproximación integral.

En resumen, tome registros. Entonces te queda encontrar y delimitar la serie.

$$\sum_{n \geq 2} \frac{\log n}{n^2},$$

que es bastante rápidamente convergente. El error de usar el primero$N$los términos serán aproximadamente$1/N$, por lo que usar los primeros 20 términos será suficiente para probar sus desigualdades, por ejemplo.