Demostrando la aproximación de forma cerrada de la relación de recurrencia Xk=kXk−1Xk=kXk−1X_k=\frac{k}{X_{k-1}}

Question

Demostrando la aproximación de forma cerrada de la relación de recurrencia Xk=kXk−1Xk=kXk−1X_k=\frac{k}{X_{k-1}}

Matemáticas
aproximación
análisis real
relaciones de recurrencia
secuencias y series
matemáticas-recreativas

dsillman2000

Hoy temprano estaba jugando con una relación de recurrencia que pensé que se comportaba de manera peculiar, a saber

X_{k} = \frac{k}{X_{k - 1}} k \geq 0 X_{0} = 1

$X_k=\frac{k}{X_{k-1}} \qquad k\geq 0 \\ X_0=1$ Después de graficar sus primeros 100 términos, noté que eran esencialmente dos curvas de raíz cuadrada "entrelazadas". Luego intenté elevar al cuadrado los términos para confirmar que obtuve líneas rectas, lo cual hice aproximadamente (no exactamente rectas, pero casi rectas), lo que implica que cualquiera que sea mi forma cerrada de raíz cuadrada entretejida por partes, era solo el límite de la relación de recurrencia como

k \to \infty

$k\rightarrow\infty$ . Jugué tratando de encontrar el coeficiente de

k

$k$ , finalmente encontrando esta aproximación:

X_{k} :\approx {\begin{cases} \sqrt{1 + \frac{π}{2} k} & k incluso \\ \sqrt{\frac{2}{π} k} & k extraño \end{cases}

$X_k:\approx\begin{cases} \sqrt{1+\frac{\pi}{2}k} & k\text{ even} \\ \sqrt{\frac{2}{\pi}k} & k\text{ odd} \end{cases}$

Esto realmente parece (por inspección) ser la mejor aproximación que puedo hacer para $X_k$ en la hora que he estado trabajando en esto, pero me preguntaba cómo podría probar este tipo de relación. Es curioso para mí que pi se involucre en absoluto, mi única hipótesis hasta ahora es que se usa algún tipo de función trigonométrica inversa en algún lugar de la prueba.

Michal Adamaszek

Hasta alguna manipulación de índice, esto es math.stackexchange.com/questions/1693377/…

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Hasta alguna manipulación de índice, esto es math.stackexchange.com/questions/1693377/…

CHAMSI · Answer 1

Podemos resolver esa relación de recurrencia, sea $n\in\mathbb{N}$ , y deja $k$ ser un entero positivo:

\begin{aligned} X_{2 k} = \frac{2 k}{X_{2 k - 1}} & = \frac{2 k}{2 k - 1} X_{2 k - 2} \\ ⟹ \prod_{k = 1}^{norte} \frac{X_{2 k}}{X_{2 k - 2}} & = \prod_{k = 1}^{norte} \frac{2 k}{2 k - 1} \\ ⟺ \frac{X_{2 norte}}{X_{0}} & = \frac{2^{2 norte}}{(\binom{2 norte}{norte})} \end{aligned}

$\begin{aligned} X_{2k}=\frac{2k}{X_{2k-1}}&=\frac{2k}{2k-1}X_{2k-2}\\ \Longrightarrow\prod_{k=1}^{n}{\frac{X_{2k}}{X_{2k-2}}}&=\prod_{k=1}^{n}{\frac{2k}{2k-1}}\\ \iff \ \ \ \ \ \ \ \frac{X_{2n}}{X_{0}}&=\frac{2^{2n}}{\binom{2n}{n}}\end{aligned}$

\begin{aligned} X_{2 k + 1} = \frac{2 k + 1}{X_{2 k}} & = \frac{2 k + 1}{2 k} X_{2 k - 1} \\ ⟹ \prod_{k = 1}^{norte} \frac{X_{2 k + 1}}{X_{2 k - 1}} & = \prod_{k = 1}^{norte} \frac{2 k + 1}{2 k} \\ ⟺ \frac{X_{2 norte + 1}}{X_{1}} & = \frac{2 norte + 1}{2^{2 norte}} (\binom{2 norte}{norte}) \end{aligned}

$\begin{aligned} X_{2k+1}=\frac{2k+1}{X_{2k}}&=\frac{2k+1}{2k}X_{2k-1}\\ \Longrightarrow\prod_{k=1}^{n}{\frac{X_{2k+1}}{X_{2k-1}}}&=\prod_{k=1}^{n}{\frac{2k+1}{2k}}\\ \iff \ \ \ \ \frac{X_{2n+1}}{X_{1}}&=\frac{2n+1}{2^{2n}}\binom{2n}{n}\end{aligned}$

De este modo,

(\forall norte \in norte), X_{norte} = {\begin{aligned} \frac{2^{norte}}{(\binom{norte}{\frac{norte}{2}})} & Si norte incluso \\ \frac{norte}{2^{norte - 1}} (\binom{norte - 1}{\frac{norte - 1}{2}}) & Si norte es impar \end{aligned}

$\left(\forall n\in\mathbb{N}\right),\ X_{n}=\left\lbrace\begin{aligned}\frac{2^{n}}{\binom{n}{\frac{n}{2}}} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ &\textrm{If }n\textrm{ is even} \\ \frac{n}{2^{n-1}}\binom{n-1}{\frac{n-1}{2}} \ \ \ \ &\textrm{If }n\textrm{ is odd}\end{aligned}\right.$

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dsillman2000

Michal Adamaszek

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CHAMSI

Serie de fracciones egipcias para 9970−2–√9970−2\frac{99}{70}-\sqrt{2}

¿Hay algo más en esta relación con los números de Fibonacci?

Encuentra limn→∞a1+a2+...+an1+12√+...+1n√limn→∞a1+a2+...+an1+12+...+1n\lim\limits_{n\to\ infinito}\frac{a_1+a_2+...+a_n}{1+\frac{1}{\sqrt2}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}} con a1=1a1=1a_1 =1 y an+1=1+ann+1√an+1=1+ann+1a_{n+1}=\frac{1+a_n}{\sqrt{n+1}}

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