¿Cómo mostrar que la siguiente sucesión es monotinamente creciente?

Dejar$f(x) = \frac{ 2 (2x+1) } { x+3}$.

Pista: demuestra que$f(x)$es una función creciente en (al menos)$x \geq 1$.

Usando la sugerencia de Nightflight de$f(x) = 4 - \frac{10}{x+3}$, podemos evitar el uso de cálculo.

Corolario: La hipótesis de inducción sigue. Desde$a_n \leq a_{n+1}$, por eso$f(a_n) \leq f(a_{n+1} )$.

Simplificación de la solución de Eric.

Pista: demuestra que$x \leq f(x) \leq 2$en (al menos)$[1,2]$.

Corolario: Usando inducción, demuestre la afirmación más fuerte que$1 \leq a_n \leq a_{n+1} \leq 2$.

Si quieres aún más, mira mi respuesta a esta pregunta .

Aplicado a su caso simple ( simple debido a los requisitos específicos), esto le dará

Darse cuenta de$a_n$Será mejor que nunca lo seas$-3$o la recursividad no se define. deseamos mostrar

Tenemos$a_1 = 1$. Para ser monótonamente creciente, debemos tener$a_n \in [1,2)$para todos$n \geq 1$. (En particular, aunque obtenemos al menos un paso de aumento si$a_n < -3$, Si alguna$a_n$después$a_1$es menos que$a_1 = 1$, la sucesión no puede ser creciente.) Tenemos$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{2(2x+1)}{x+3} = \frac{10}{(x+3)^2} > 0$(para$x \neq -3$), por lo que es creciente en$[1,2)$. Esto significa$\frac{2(2x+1)}{x+3}$tiene un límite inferior en$x = 1$y tiene un límite superior en$x = 2$. nosotros calculamos$\frac{2(2(1)+1)}{(1)+3} = \frac{3}{2}$y$\frac{2(2(2)+1)}{(2)+3} = 2$, entonces$a_n \in [3/2,2)$para todos$n$. Por lo tanto, la secuencia es monótonamente creciente.