Demuestra que la sucesión está acotada por debajo por 2–√2{\sqrt 2}

En expansión$x_{n+1}^2-2$rendimientos

$$x_{n+1}^2-2=\frac{x_n^2-2}{(3+2x_n)^2}$$ Señalando que$x_1 > \sqrt{2}$, se sigue por inducción sobre$n$eso$x_n > \sqrt{2}$para todos los enteros positivos$n$.

Usa la inducción. Asumir$x_n > \sqrt{2}$. tenemos que mostrar$x_{n + 1} > \sqrt{2}$.

$$x_n > \sqrt{2}$$ $$16 + 24x + 9x^2 > 18 + 24x + 8x^2$$ $$(4 + 3x)^2 > 2(3 + 2x)^2$$ $$\left(\frac{4 + 3x}{3 + 2x}\right)^2 > 2$$ $$(x_{n+1})^2 > 2$$ $$x_{n + 1} > \sqrt{2}$$

(la prueba formal va de arriba hacia abajo, pero es mucho más simple encontrarla de abajo hacia arriba)

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$

Colocar$\ds{x_{n} \equiv p_{n}/q_{n}}$tal que$\ds{p_{n + 1}/q_{n +1} = \pars{3p_{n} + 4q_{n}}/\pars{2p_{n} + 3q_{n}}}$.

Elegir$\ds{p_{n + 1} = 3p_{n} + 4q_{n}}$y$\ds{q_{n + 1} = 2p_{n} + 3q_{n}}$. Ambas ecuaciones se pueden reescribir como

$$\begin{align} {p_{n + 1} \choose q_{n + 1}} & = \pars{\begin{array}{cc} \ds{3} & \ds{4} \\ \ds{2} & \ds{3} \end{array}} {p_{n} \choose q_{n}} = \pars{\begin{array}{cc} \ds{3} & \ds{4} \\ \ds{2} & \ds{3} \end{array}}^{2} {p_{n - 1} \choose q_{n - 1}} = \dots = \pars{\begin{array}{cc} \ds{3} & \ds{4} \\ \ds{2} & \ds{3} \end{array}}^{n} {p_{1} \choose q_{1}} \\[5mm] & \stackrel{\mrm{as}\ n\ \to\ \infty}{\sim}\,\,\, \pars{3 + 2\root{2}}^{n}{1 \over \root{3}}{\root{2} \choose 1} {1 \over \root{3}}\pars{\root{2}\quad 1}{p_{1} \choose q_{1}} \\[5mm] & = {\pars{3 + 2\root{2}}^{n} \over 3} \pars{\begin{array}{cc} \ds{2} & \ds{\root{2}} \\ \ds{\root{2}} & \ds{1} \end{array}} {p_{1} \choose q_{1}} \\[5mm] \implies & {p_{n + 1} \over q_{n + 1}} \,\,\,\stackrel{\mrm{as}\ n\ \to\ \infty}{\sim}\,\,\, {2p_{1} + \root{2}q_{1} \over \root{2}p_{1} + q_{1}} = {2p_{1}/q_{1} + \root{2} \over \root{2}p_{1}/q_{1} + 1} = {3 + \root{2} \over 3\root{2}/2 + 1} \\[5mm] & = \bbx{\root{2}} \approx 1.4142 \end{align}$$