Demostrar que una sucesión convergente tiene un mínimo, un máximo o ambos.

Question

Demostrar que una sucesión convergente tiene un mínimo, un máximo o ambos.

limites
cálculo
Matemáticas
secuencias y series
convergencia divergencia

Meitar

Dejar $a_n$ sea una sucesión convergente. Probar $a_n$ tiene un mínimo, un máximo o ambos.

Me están preparando para un examen final, por eso es importante para mí saber que $I$ estoy en lo correcto $my$ intentar. Por supuesto, si estoy completamente equivocado, las sugerencias o la solución son bienvenidas. Gracias.

$Attempt$ : $a_n$ converge a un límite $L\in \Bbb{R}$ como $n\to \infty$ . Por lo tanto, para $\epsilon=1$ obtenemos, para lo suficientemente grande $N$ eso $\forall n\ge N,$ $|a_n-L|<1$ $\Rightarrow$ $L-1 \le a_n\le L+1$ , En particular $a_n\le L+1$ . Por lo tanto, para $M=max(a_1,a_2,...,a_N,L+1)$ , $a_n\le M$ necesariamente. es decir, $a_n$ está acotado por arriba. Lo mismo se puede mostrar con un límite inferior. Si $a_n$ es constante, hemos terminado. De lo contrario, los límites inferior y superior son diferentes. Suponer $a_n$ no tiene mínimo ni máximo, entonces tanto el límite inferior como el superior son puntos de acumulación, una contradicción. Por lo tanto $a_n$ tiene un máximo o un mínimo en ese caso.

velut luna

Luce bien para mi.

identificación

En realidad, su primera prueba (es decir, las 3 primeras líneas de su intento ) ¡probó todo! No necesita mirar los casos de diferencia después.

Meitar

Creo que tienes razón... Pero nunca encontré una afirmación que diga que en realidad hay min\max, así que sentí ganas de probarlo...

sranthrop

@idm: No, no es así, pero el resto de la prueba de Meitar sí lo es. La pregunta no es si

(a_{n})

$(a_n)$ está acotado por arriba o por abajo (eso significa que el

sup

$\sup$ o el

inf

$\inf$ del conjunto

{a_{n} | n \in N}

$\{a_n\ |\ n\in\mathbb N\}$ existe La cuestión es más bien probar que hay alguna

n

$n$ tal que

a_{n} = sup

$a_n=\sup$ o

a_{n} = inf

$a_n=\inf$ , entonces

sup

$\sup$ o

inf

$\inf$ son alcanzados.

Hagen von Eitzen

@idm Las primeras tres líneas no prueban todo. si dejamos

a_{n} = \sin n

$a_n=\sin n$ entonces no tenemos convergencia, pero aún tenemos todo desde la sentencia dos en adelante, es decir, para

ϵ = 1

$\epsilon=1$ tenemos

| a_{n} - 0 | < 1

$|a_n-0|<1$ para todos

n

$n$ . (Y por supuesto

a_{n} = \sin a_{n}

$a_n=\sin a_n$ no tiene max/min)

identificación

Ya veo, lo siento, no soy inglés, por lo tanto, no entiendo todas las sutilezas.

Timbuc

Me parece muy bien. Quizás agregar una explicación muy breve de por qué tener diferentes puntos de acumulación es una contradicción ayudaría un poco, pero le daría todos los puntos a su respuesta, @Meitar. +1

André Nicolás

La lógica podría ser, creo, más clara. Hay un argumento que usa la misma idea básica pero no menciona los puntos de acumulación, y quizás sea más breve.

Meitar

Encontré un pequeño error, los sup\inf son los puntos de acumulación...

Olorin

@Meitar no son necesariamente puntos de acumulación (piense en una secuencia constante), incluso si en algún caso pueden serlo, pero siempre se adhieren al conjunto de valores de la secuencia, y esto es lo único que se necesita.

Meitar

Eso, concluí asumiendo que la sucesión no es constante, sabiendo que la sucesión tiene un supremo y un ínfimo que no están en la sucesión.

Respuestas (2)

Demostrar que una sucesión convergente tiene un mínimo, un máximo o ambos.

En realidad, su primera prueba (es decir, las 3 primeras líneas de su intento ) ¡probó todo! No necesita mirar los casos de diferencia después.
Creo que tienes razón... Pero nunca encontré una afirmación que diga que en realidad hay min\max, así que sentí ganas de probarlo...
@idm: No, no es así, pero el resto de la prueba de Meitar sí lo es. La pregunta no es si $(a_n)$ está acotado por arriba o por abajo (eso significa que el $\sup$ o el $\inf$ del conjunto $\{a_n\ |\ n\in\mathbb N\}$ existe La cuestión es más bien probar que hay alguna $n$ tal que $a_n=\sup$ o $a_n=\inf$ , entonces $\sup$ o $\inf$ son alcanzados.
@idm Las primeras tres líneas no prueban todo. si dejamos $a_n=\sin n$ entonces no tenemos convergencia, pero aún tenemos todo desde la sentencia dos en adelante, es decir, para $\epsilon=1$ tenemos $|a_n-0|<1$ para todos $n$ . (Y por supuesto $a_n=\sin a_n$ no tiene max/min)
Ya veo, lo siento, no soy inglés, por lo tanto, no entiendo todas las sutilezas.
Me parece muy bien. Quizás agregar una explicación muy breve de por qué tener diferentes puntos de acumulación es una contradicción ayudaría un poco, pero le daría todos los puntos a su respuesta, @Meitar. +1
La lógica podría ser, creo, más clara. Hay un argumento que usa la misma idea básica pero no menciona los puntos de acumulación, y quizás sea más breve.
Encontré un pequeño error, los sup\inf son los puntos de acumulación...
@Meitar no son necesariamente puntos de acumulación (piense en una secuencia constante), incluso si en algún caso pueden serlo, pero siempre se adhieren al conjunto de valores de la secuencia, y esto es lo único que se necesita.
Eso, concluí asumiendo que la sucesión no es constante, sabiendo que la sucesión tiene un supremo y un ínfimo que no están en la sucesión.

André Nicolás · Answer 1

Usamos la notación del OP. El resultado es claro si todos los $a_k$ son iguales al límite $L$ . Por lo tanto, podemos suponer que para algunos $k_0$ tenemos $a_{k_0}\ne L$ . Por simplicidad dejemos $a_{k_0}=c$ . Por simetría podemos suponer que $c\gt L$ .

Por la definición de límite, hay un índice $N$ tal que $|a_n-L|\lt c-L$ si $n\gt N$ . En particular, $a_n\lt c$ para $n\gt N$ .

El conjunto (multi) $\{a_1,a_2,\dots,a_N\}$ tiene un máximo $b$ , y $b\ge a_k$ para todos $k$ .

Olorin · Answer 2

Dejar $(a_n)_n$ una sucesión convergente de valor real. Como demostraste, esta sucesión está acotada, de modo que $m = \inf\{a_n\;|\;n\in\mathbf{N}\}$ y $M = \sup\{a_n\;|\;n\in\mathbf{N}\}$ existen en $\mathbf{R}$ .

Queremos mostrar que existe un $n\in\mathbf{N}$ tal que o bien $a_n = m$ o $a_n = M$ . Si $m=M$ todo está claro, por lo que podemos suponer $m<M$ .

Supongamos lo contrario: $\forall n\in\mathbf{N}, a_n \not= m$ y $a_n \not= M$ , es decir $\forall n\in\mathbf{N}, a_n > m$ y $a_n < M$ , por definición de $m$ y $M$ . Recall what a sup (resp. inf) $m$ (resp. $M$ ) de un conjunto no vacío $X$ acotado desde arriba (resp. acotado desde abajo) es. es el unico $m$ (resp. $M$ ) tal que $\forall \varepsilon > 0$ , existe un $x\in X$ tal que $M-\varepsilon \leq x$ (resp. $x \leq m+\varepsilon$ .) Vamos a aplicar esto con $X = \{a_n\;|\;n\in\mathbf{N}\}$ . Para $n = 0$ , hay un $k_0$ (resp. $l_0$ ) tal que $M - 2^{-0} \leq u_{k_0} < M$ (resp. $m + 2^{-0} \geq l_{k_0} > m$ .) Ahora hay un $k_1$ (resp. $l_1$ ) estrictamente mayor que $k_0$ (resp. $l_0$ ) tal que $\max(M - 2^{-1} , u_{k_0}) < u_{k_1} < M$ (resp. $\min(m + 2^{-1} , u_{l_0}) > u_{l_1} > m$ .) (Como sabemos por las desigualdades anteriores que el término más a la derecha es $< M$ (resp. ( $>m$ .)

Iterando este proceso, podemos construir una secuencia estrictamente creciente $(k_n)_n$ (resp< $(l_n)_n$ ) tal que la sucesión $(a_{k_n})_n$ (resp. $(a_{l_n})_n$ ) es estrictamente creciente (resp. decreciente) y tal que $\forall n \in\mathbf{N}, a_{k_n} \in ]M-1/2^n, M[$ (resp. $a_{l_n} \in ]m+1/2^n,m[$ . Por lo tanto $(a_{k_n})_n$ converge a $m$ y $(a_{l_n})_n$ a $M$ , mostrando que $m=M=\lambda$ , dónde $\lambda$ es el límite de $(a_n)_n$ , ya que toda subsucesión de una sucesión convergente converge al mismo límite que el de la sucesión convergente. Esto es una contradicción, ya que suponíamos que $m<M$ . Esto demuestra que, en cualquier caso, existe una $n\in\mathbf{N}$ tal que o bien $a_n = m$ o $a_n = M$ .

Como puede observar, en realidad no necesita que nuestras dos subsecuencias dos sean estrictamente monótonas, de modo que sabiendo que $m$ y $M$ son puntos de acumulación de $X$ no es necesario. Lo único que se necesita es que $m$ y $M$ son adherentes a $X$ .

Demostrar que una sucesión convergente tiene un mínimo, un máximo o ambos.

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Timbuc

André Nicolás

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Olorin

Meitar

Respuestas (2)

André Nicolás

Olorin

Convergencia de una serie infinita particular

¿Contradicciones entre la prueba de series alternas y la prueba de divergencia?

Comprobando si esta sucesión es convergente o divergente

Evaluando el límite limn→∞(1n2+2n2+...+n−1n2)limn→∞(1n2+2n2+...+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1} {n^2}+\frac{2}{n^2}+...+\frac{n-1}{n^2}\right)

∑∞n=0ak∑n=0∞ak\sum_{n=0}^\infty a_k converge absolutamente y ∑∞n=0bk∑n=0∞bk\sum_{n=0}^\infty b_k converge ¿Hace esto implica que ∑∞n=0bksin(ak)∑n=0∞bksin⁡(ak)\sum_{n=0}^\infty b_k\sin(a_k) converge?

Demuestra que la sucesión está acotada por debajo por 2–√2{\sqrt 2}

Muestre que una prueba de razón no es concluyente para una serie dada, luego determine si la serie converge/diverge.

Determina si la serie ∑∞n=02n2n!∑n=0∞2n2n!\sum_{n=0}^\infty\frac{2^{n^2}}{n!} es convergente o divergente.

Convergencia paramétrica de series infinitas

Cuando lim|ak+1/ak|=1lim|ak+1/ak|=1\lim\left| a_{k+1}/a_k \right| =1 en la prueba de razón límite, ¿se sigue que la serie diverge?