Muestre que una prueba de razón no es concluyente para una serie dada, luego determine si la serie converge/diverge.

Question

Muestre que una prueba de razón no es concluyente para una serie dada, luego determine si la serie converge/diverge.

cálculo
Matemáticas
serie divergente
secuencias y series
convergencia divergencia

gticecream8

4. Considere la serie $\sum a_n$ dónde
$a_{norte} = {\begin{cases} norte / 2^{norte} & norte extraño \\ 1 / 2^{norte} & norte incluso \end{cases}$ $a_n=\begin{cases}n/2^n&n\text{ odd}\\1/2^n&n\text{ even}\end{cases}$

a. Mostrar que la prueba de la razón no es concluyente

b. Use la prueba de la raíz para determinar si la serie es convergente o divergente.

No estoy seguro de cómo hacer esto..

Sarvesh Ravichandran Iyer

La forma de hacerlo es aplicar la prueba. Inserta la secuencia en la prueba, encuentra la cantidad necesaria, verifica si es menor, mayor o igual a uno y concluye. Si está atascado al aplicar la prueba, publique lo que haya hecho, porque cuando está tan claro que debe aplicar la prueba, entonces estoy seguro de que ya lo habría hecho.

gticecream8

@астонвіллаолофмэллбэрг Intenté aplicar la prueba, por separado para cuando n es impar y cuando n es par. ¿Estaba en lo correcto al hacer la prueba dos veces, una para n = impar y otra para n = par?

Sarvesh Ravichandran Iyer

Sí, tenías razón. Sin embargo, la respuesta a continuación le dará una mejor pista.

Iván Neretín

Además, no es correcto usar la palabra "armónico" simplemente porque te gusta cómo suena.

Respuestas (2)

Muestre que una prueba de razón no es concluyente para una serie dada, luego determine si la serie converge/diverge.

La forma de hacerlo es aplicar la prueba. Inserta la secuencia en la prueba, encuentra la cantidad necesaria, verifica si es menor, mayor o igual a uno y concluye. Si está atascado al aplicar la prueba, publique lo que haya hecho, porque cuando está tan claro que debe aplicar la prueba, entonces estoy seguro de que ya lo habría hecho.
@астонвіллаолофмэллбэрг Intenté aplicar la prueba, por separado para cuando n es impar y cuando n es par. ¿Estaba en lo correcto al hacer la prueba dos veces, una para n = impar y otra para n = par?
Sí, tenías razón. Sin embargo, la respuesta a continuación le dará una mejor pista.
Además, no es correcto usar la palabra "armónico" simplemente porque te gusta cómo suena.

donantonio · Answer 1

Sugerencias:

La prueba de la razón da

\frac{a_{norte + 1}}{a_{norte}} = {\begin{cases} \frac{\frac{norte + 1}{2^{norte + 1}}}{\frac{1}{2^{norte}}} = \frac{norte + 1}{2}, & norte incluso \\ \frac{\frac{1}{2^{norte + 1}}}{\frac{norte}{2^{norte}}} = \frac{1}{2 norte}, & norte es impar \end{cases}

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\begin{cases}\cfrac{\frac{n+1}{2^{n+1}}}{\frac1{2^n}}=\frac{n+1}2\,,&n\;\text{ is even}\\{}\\\cfrac{\frac1{2^{n+1}}}{\frac n{2^n}}=\frac1{2n}\,,&n\;\text{ is odd}\end{cases}$

y por lo tanto el límite no existe así que...

Para el $\;n\,-$ prueba de raíz:

\sqrt[norte]{a_{norte}} = {\begin{cases} \frac{\sqrt[norte]{norte}}{2}, & norte es impar \\ \frac{1}{2}, & norte incluso \end{cases} \to_{norte \to \infty}^{} \dots

$\sqrt[n]{a_n}=\begin{cases}\cfrac{\sqrt[n]n}2\,,&n\;\text{ is odd}\\{}\\\;\;\;\cfrac12\,,&n\;\text{ is even}\end{cases}\;\xrightarrow[n\to\infty]{}\ldots$

y así existe el límite y...

usuario4414 · Answer 2

La serie es una combinación de series geométricas y la Escalera de Gabriel :

\sum_{k = 0}^{\infty} a_{k} = \sum_{k = 0}^{\infty} a_{2 k} + \sum_{k = 0}^{\infty} a_{2 k + 1} = \sum_{k = 0}^{\infty} (\frac{1}{2})^{2 k} + \sum_{k = 0}^{\infty} (2 k + 1) (\frac{1}{2})^{2 k + 1}

$\sum_{k=0}^\infty a_k = \sum_{k=0}^\infty a_{2k}+\sum_{k=0}^\infty a_{2k+1} = \sum_{k=0}^\infty (\frac{1}{2})^{2k} + \sum_{k=0}^\infty (2k+1)(\frac{1}{2})^{2k+1}$ Dividimos nuevamente, reorganizamos y combinamos nuevamente:

= \sum_{k = 0}^{\infty} (\frac{1}{2})^{2 k} + \sum_{k = 0}^{\infty} k (\frac{1}{4})^{k} + \sum_{k = 0}^{\infty} (\frac{1}{2})^{2 k + 1} = \sum_{k = 0}^{\infty} (\frac{1}{2})^{k} + \sum_{k = 0}^{\infty} k (\frac{1}{4})^{k}

$= \sum_{k=0}^\infty (\frac{1}{2})^{2k} + \sum_{k=0}^\infty k (\frac{1}{4})^{k} + \sum_{k=0}^\infty (\frac{1}{2})^{2k+1} = \sum_{k=0}^\infty (\frac{1}{2})^{k} + \sum_{k=0}^\infty k (\frac{1}{4})^{k}$ Ahora ambas series convergen y obtenemos como valor combinado:

= \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} + \frac{1}{4} \frac{1}{(1 - \frac{1}{4})^{2}} = 2 + \frac{1}{4} \frac{dieciséis}{9} = \frac{22}{9}

$= \frac{1}{1-\frac{1}{2}} + \frac{1}{4} \frac{1}{(1-\frac{1}{4})^2} = 2 + \frac{1}{4} \frac{16}{9} = \frac{22}{9}$

Muestre que una prueba de razón no es concluyente para una serie dada, luego determine si la serie converge/diverge.

gticecream8

Sarvesh Ravichandran Iyer

gticecream8

Sarvesh Ravichandran Iyer

Iván Neretín

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donantonio

usuario4414

Determina si la serie ∑∞n=02n2n!∑n=0∞2n2n!\sum_{n=0}^\infty\frac{2^{n^2}}{n!} es convergente o divergente.

Simplificación de series

∑∞n=0ak∑n=0∞ak\sum_{n=0}^\infty a_k converge absolutamente y ∑∞n=0bk∑n=0∞bk\sum_{n=0}^\infty b_k converge ¿Hace esto implica que ∑∞n=0bksin(ak)∑n=0∞bksin⁡(ak)\sum_{n=0}^\infty b_k\sin(a_k) converge?

Demostrar que una sucesión convergente tiene un mínimo, un máximo o ambos.

Convergencia de una serie infinita particular

Convergencia paramétrica de series infinitas

¿Es esta serie ∑n=0∞1+sinn10n∑n=0∞1+sin⁡n10n\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1+\sin n}{10^n} divergente o convergente ?

Determinar si las series convergen absolutamente, convergen condicionalmente o divergen

Determine si esta serie es absolutamente convergente, condicionalmente convergente o divergente.

Determine si ∑n=1∞(−1)n−1(nn2+1)∑n=1∞(−1)n−1(nn2+1)\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}(\frac{n}{n^2+1}) es absolutamente convergente, condicionalmente convergente o divergente.