Expansión asintótica de exp(−π2F1(12,12,1;1−x)2F1(12,12;1;x))exp⁡(−π2F1(12,12,1;1−x)2F1(12,12 ;1;x))\exp\left(-\pi\frac {_2F_1(\frac12, \frac12, 1; 1-x)}{_2F_1(\frac12, \frac12;1;x)}\right)

Question

Expansión asintótica de exp(−π2F1(12,12,1;1−x)2F1(12,12;1;x))exp⁡(−π2F1(12,12,1;1−x)2F1(12,12 ;1;x))\exp\left(-\pi\frac {_2F_1(\frac12, \frac12, 1; 1-x)}{_2F_1(\frac12, \frac12;1;x)}\right)

cálculo
Matemáticas
análisis real
taylor-expansion
secuencias y series
función hipergeométrica

PRJ

He estado tratando de expandir

Exp (- π \frac{_{2} F_{1} (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1; 1 - X)}{_{2} F_{1} (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}; 1; X)})

$\exp\left(-\pi\frac {_2F_1(\frac12, \frac12, 1; 1-x)}{_2F_1(\frac12, \frac12;1;x)}\right)$

en cuanto a las facultades de $x$ .

Lo que intenté: Traté de encontrar la expansión de la serie de Taylor, pero todavía no puedo pasar por todo esto.

PRJ

El inglés no es mi idioma nativo, por lo tanto, descuide la gramática.

yo_no_sé_matemáticas_

Está ahí

π

$\pi$ o

π^{2}

$\pi^2$

PRJ

@I_don't_know_maths_ corregido

Respuestas (2)

Expansión asintótica de exp(−π2F1(12,12,1;1−x)2F1(12,12;1;x))exp⁡(−π2F1(12,12,1;1−x)2F1(12,12 ;1;x))\exp\left(-\pi\frac {_2F_1(\frac12, \frac12, 1; 1-x)}{_2F_1(\frac12, \frac12;1;x)}\right)

El inglés no es mi idioma nativo, por lo tanto, descuide la gramática.

yo_no_sé_matemáticas_ · Answer 1

\begin{aligned} Exp (- π \frac{_{2} F_{1} (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}; 1; 1 - X)}{_{2} F_{1} (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}; 1; X)}) & = Exp (- en (\frac{dieciséis}{X}) + \frac{4 \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(\frac{1}{2})_{k}^{2}}{(k!)^{2}} \sum_{j = 1}^{k} \frac{1}{(2 j - 1) (2 j)} X^{k}}{_{2} F_{1} (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}; 1; X)}) \\ = \frac{X}{dieciséis} Exp (\frac{\frac{X}{2} + \frac{21}{64} X^{2} + . . .}{1 + \frac{X}{4} + \frac{9}{64} X^{2} + . . .}) \\ = \frac{X}{dieciséis} Exp (\frac{1}{2} X + \frac{13}{64} X^{2} + . . .) \\ = \frac{X}{dieciséis} (1 + \frac{1}{2} X + \frac{13}{64} X^{2} + . . . \frac{1}{2} {(\frac{1}{2} X + \frac{13}{64} X^{2} + . . .)}^{2} + . . . . .) \end{aligned}

$\begin{align*} \exp\left(-\pi\frac {_2F_1(\frac12, \frac12;1;1-x)}{_2F_1(\frac12, \frac12;1;x)}\right) & = \exp\left(-\ln\left(\frac{16}x\right) + \frac{4\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(\frac{1}{2})_k^2}{(k!)^2}\sum_{j = 1}^k\frac1{(2j-1)(2j)}x^k}{_2F_1(\frac12,\frac12;1;x)}\right)\\ & = \frac x{16}\exp\left(\frac{\frac x{2} + \frac {21}{64}x^2 +...}{1 + \frac x{4} + \frac 9{64}x^2 +...}\right)\\ & = \frac x{16}\exp\left(\frac 12x + \frac{13}{64}x^2 +...\right)\\ & = \frac x{16}\left(1 + \frac 1{2}x + \frac {13}{64}x^2 +...\frac12\left(\frac12x + \frac{13}{64}x^2 + ...\right)^2 + .....\right) \end{align*}$

Esta es una serie muy compleja, sin embargo, esto está en el poder de $x$ .

\begin{aligned} _{2} F_{1} (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}; 1; 1 - X) & = \frac{1}{π} [- en X \times_{2} F_{1} (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}; 1; X) - 2 \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(\frac{1}{2})_{k}^{2}}{(k!)^{2}} (ψ (k + \frac{1}{2}) - ψ (k + 1)) X^{k}] \\ = \frac{1}{π} [-_{2} F_{1} (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}; 1; X) \times en X - 2 (\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(\frac{1}{2})_{k}^{2}}{(k!)^{2}}) (2 \sum_{j = 1}^{k} \frac{1}{2 j - 1} - 2 en 2 - \sum_{j = 1}^{k} \frac{1}{j}) X^{k}] \\ = \frac{1}{π} [_{2} F_{1} (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}; 1; X) en (\frac{dieciséis}{X}) - 2 \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(\frac{1}{2})_{k}^{2}}{(k!)^{2}} \sum_{j = 1}^{k} \frac{1}{j (2 j - 1)} X^{k}] \end{aligned}

$\begin{align*} _2F_1(\frac12, \frac12;1;1-x) & = \frac1\pi\left[-\ln x \times_2F_1\left(\frac12, \frac12;1;x\right) - 2\sum_{k = 0}^{\infty}\frac {(\frac12)_k^2}{(k!)^2}\left(\psi(k + \frac12) - \psi(k + 1)\right)x^k\right]\\ & = \frac1\pi\left[-_2F_1\left(\frac12, \frac12;1;x\right)\times \ln x -2\left(\sum_{k = 0}^{\infty}\frac{(\frac12)_k^2}{(k!)^2}\right)\left(2\sum_{j = 1}^k\frac1{2j-1} -2\ln2 -\sum_{j =1}^k\frac1j\right)x^k\right]\\ & = \frac1\pi\left[_2F_1\left(\frac12, \frac12;1;x\right)\ln\left(\frac{16}x\right) - 2\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{(\frac12)_k^2}{(k!)^2}\sum_{j = 1}^k \frac1{j(2j-1)}x^k\right] \end{align*}$

Si tienes la curiosidad de saber cómo obtuve esto $\ln(16/x)$ Estaré feliz de compartir?
¡Guau! así que tomaste el registro de la serie HG y $\ln(2^2*2/x)$
Buen trabajo y (+1) pero esto no está terminado como una serie de Taylor.
@ClaudeLeibovici ¡Qué bueno que usted me aprecie, señor! Sí, no es tan suave como la serie de Taylor y, para ser honesto, no pude expresar como $\sum a_n x^n$
Sólo por curiosidad: ¿cómo estás bromeando con el viejo? Hablando en serio: para mí, todos somos iguales, compartimos la misma pasión por las matemáticas. Eso es todo ! Con respecto al problema se simplifica mucho usando las integrales elípticas. Salud :-)
@ClaudeLeibovici ¡Gracias! Pero no estoy bromeando con un anciano, de hecho, me gusta escuchar a las personas mayores, sus experiencias, sus vidas y aprender mucho. También he marcado una de sus soluciones y también he planeado contactarlo en su correo si usted no te importa? Saludos :-) (Yo también soy la razón detrás de estos vítores :-))
¡ Estaba bromeando! Póngase en contacto conmigo en cualquier momento. Será un placer.
@ClaudeLeibovici No tengo palabras sobre cómo llegó a la secuencia A002639 en OEIS , pero gracias porque no estaba seguro de los coeficientes de mi propia respuesta, ¡así que ahora verifiqué y estoy feliz!
@I_don't_know_maths_ ¿Cómo encontraste este enlace oeis.org/A002639 ?

Claudio Leibovici · Answer 2

El problema se simplifica mucho ya que estas funciones hipergeométricas gaussianas se reducen a integrales elípticas completas de primera clase

A =_{2} F_{1} (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1; 1 - X) = \frac{2}{π} k (1 - X)

$A={}_2F_1(\frac12, \frac12, 1; 1-x)=\frac{2 }{\pi }K(1-x)$

B =_{2} F_{1} (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1; X) = \frac{2}{π} k (X)

$B={}_2F_1(\frac12, \frac12, 1; x)=\frac{2 }{\pi }K(x)$ Entonces, usando su representación en serie

\frac{A}{B} = \frac{4 registro (2) - registro (X)}{π} - \frac{X}{2 π} - \frac{13 X^{2}}{64 π} - \frac{23 X^{3}}{192 π} - \frac{2701 X^{4}}{32768 π} - \frac{5057 X^{5}}{81920 π} - \frac{76715 X^{6}}{1572864 π} + O (X^{7})

$\frac A B=\frac{4 \log (2)-\log (x)}{\pi }-\frac{x}{2 \pi }-\frac{13 x^2}{64 \pi }-\frac{23 x^3}{192 \pi }-\frac{2701 x^4}{32768 \pi }-\frac{5057 x^5}{81920 \pi }-\frac{76715 x^6}{1572864 \pi }+O\left(x^7\right)$ Entonces

Exp (- π \frac{_{2} F_{1} (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1; 1 - X)}{_{2} F_{1} (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}; 1; X)}) = \frac{X}{dieciséis} \sum_{norte = 0}^{pag} a_{norte} X^{norte} + O (X^{pag + 1})

$\exp\left(-\pi\frac {{}_2F_1(\frac12, \frac12, 1; 1-x)}{_2F_1(\frac12, \frac12;1;x)}\right)=\frac{x}{16} \sum_{n=0}^p a_n\,x^n+O(x^{p+1})$ y el primero

a_{n}

$a_n$ formar la secuencia

{1, \frac{1}{2}, \frac{21}{64}, \frac{31}{128}, \frac{6257}{32768}, \frac{10293}{65536}, \frac{279025}{2097152}, \frac{483127}{4194304}, \frac{435506703}{4294967296}, \dots}

$\left\{1,\frac{1}{2},\frac{21}{64},\frac{31}{128},\frac{6257}{32768},\frac{10293}{655 36},\frac{279025}{2097152},\frac{483127}{4194304},\frac{435506703}{4294967296},\cdots\right\}$

Los numeradores corresponden a la secuencia. $A002639$ en $OEIS$ y los denominadores son $2^{b_n}$ donde el $b_n$ formar la secuencia interesante

{0, 1, 6, 7, 15, dieciséis, 21, 22, 32, 33, 38, 39, 47, 48, 53, 54, 64, sesenta y cinco, 70, 71, 79, 80, 85, 86, 93, 94}

$\{0,1,6,7,15,16,21,22,32,33,38,39,47,48,53,54,64,65,70,71,79,80,85,86,93,94\}$

@PRJ. Construya la serie para $A$ y $B$ independiente y división larga. Luego multiplica por $-\pi^2$ ; entonces tienes la serie del logaritmo de la expresión. Ahora, use Taylor basado en el hecho de que $Z=e^{\log(Z)}$
Gracias @I_don't_know_maths_ ¡lo siento, Sr. Claude Leibovici!

Expansión asintótica de exp(−π2F1(12,12,1;1−x)2F1(12,12;1;x))exp⁡(−π2F1(12,12,1;1−x)2F1(12,12 ;1;x))\exp\left(-\pi\frac {_2F_1(\frac12, \frac12, 1; 1-x)}{_2F_1(\frac12, \frac12;1;x)}\right)

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Suma ∑∞n=0xnk(n+k)∑n=0∞xnk(n+k)\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{k(n+k)}

Determina si la serie ∑∞n=02n2n!∑n=0∞2n2n!\sum_{n=0}^\infty\frac{2^{n^2}}{n!} es convergente o divergente.

Convergencia de una serie infinita particular

Cuando lim|ak+1/ak|=1lim|ak+1/ak|=1\lim\left| a_{k+1}/a_k \right| =1 en la prueba de razón límite, ¿se sigue que la serie diverge?

∑n=1∞a2n∑n=1∞an2\sum\limits_{n=1}^\infty a_n^2 y ∑n=1∞b2n∑n=1∞bn2\sum\limits_{n=1}^ \infty b_n^2 converge mostrar ∑n=1∞anbn∑n=1∞anbn\sum\limits_{n=1}^\infty a_n b_n converge absolutamente

Series que suman log(2)??

Prueba de convergencia/divergencia de ∑∞n=1(−1)nsin(nπ)∑n=1∞(−1)nsin⁡(nπ)\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^ n\sen\left(\frac{n}{\pi}\right)

¿Límite de secuencia, teorema de compresión?

Serie de Taylor de 2xex2xex2xe^x

Serie de Taylor para x0+x1+x2+⋯−−−−−−√−−−−−−−−−−−−√−−−−−−−−−−−−−−−−−−√x0+ x1+x2+⋯\sqrt{x^0+\sqrt{x^1+\sqrt{x^2+\cdots}}}