sobre derivados

Consideremos una ligera variación de su ejemplo. Y si$f(x) = x^2 + 1$? entonces en$x=3$tenemos$f(x) = 10$y$f'(x) = 2x = 6$. También podríamos intentar$f(x) = x^2 - 2$, y luego en$x=3$tenemos$f(x)= 7$pero$f'(x) = 6$. Estas funciones son solo cambios verticales de su función original, por lo que cambiar el$y$-value no cambió la derivada. Por definición:

y observe que para una función dada esta ecuación solo depende de$x=a$, entonces el$y$-el valor de una función es irrelevante.

La razón por la que decimos la "tasa instantánea de cambio de$y$con respecto a$x$es porque en estos escenarios$y$es una función de$x$. En este punto de tu carrera matemática, supongo que solo has tomado las derivadas de funciones, por lo que la redacción de la derivada de$y$con respecto a$x$también podría expresarse como la derivada de la función $y=f(x)$, con respecto a la variable$x$(porque la función depende de$x$).

Eventualmente aprenderá acerca de la diferenciación implícita que le permitirá encontrar la derivada de relaciones que no son funciones. Por ejemplo, considere la ecuación del círculo$x^2 +y^2 = 5$. En el punto$x=1$hay dos asociados$y$-valores:$y=-2$y$y=2$(por lo tanto, no es una función) y cada uno tiene una tasa de cambio instantánea diferente. Entonces, para este ejemplo, cuando no tiene una función, el$y$-el valor importará.

¿La derivada (el valor de la pendiente) solo nos da el cambio de tasa instantáneo en un punto y nada más? ¿Es este el único significado de ese valor?

Las expresiones "solo" y "nada más" en declaraciones matemáticas generalmente requieren un esfuerzo considerable para encontrar la prueba, que a menudo no es trivial.

Intentaré mostrar lo contrario: las derivadas se pueden usar de una manera inesperada para resolver problemas. Por ejemplo, para demostrar la desigualdad de Young

Además de proporcionar un "cambio de tasa instantáneo" en los puntos, en realidad proporciona una forma de identificar los extremos, lo que ayuda a resolver muchos problemas de optimización.

Las derivadas ayudan a explorar raíces repetidas de un polinomio definido en (estructuras definidas sobre) un campo con característica cero. Si relaja el significado de "derivadas" en el contexto de su pregunta, es posible que encuentre que "derivadas algebraicas" (definidas explícitamente para$x^n$con respecto a$x$) tienen esa funcionalidad también en (estructuras definidas sobre) un campo con característica distinta de cero, donde uno podría no hablar sobre el orden '$<$' a lo que responde la definición de los límites.

Si me permite alejarme aún más del tema, la aplicación de$q$-derivadas en cálculo cuántico en la demostración de la sumatoria de Ramanujan de$_1\Psi_1$podría sorprenderte.

Referencias:

1. Kac V., Cheung P. (2002) Fórmula del producto Ramanujan. En: Cálculo Cuántico . Texto universitario. Springer, Nueva York, NY. https://doi.org/10.1007/978-1-4613-0071-7_15
2. Andrews, GE y Askey, R. (1976). Una prueba simple de la suma de Ramanujan de los$_1\Psi_1$. Informe de resumen técnico del Centro de Investigación Matemática de la Universidad de Wisconsin–Madison #1669

tomemos una función x^2 en x=3, f(x)=9 y aquí la derivada 2x=6. El valor 6 se llama como 𝐢𝐧𝐬𝐭𝐚𝐧𝐭𝐚𝐧𝐞𝐨𝐮𝐬 𝐫𝐚𝐭𝐞 𝐨𝐟 𝐜𝐡𝐚𝐧𝐠𝐞 𝐨𝐟 𝐨𝐟 "𝐲" wrt x (¿por qué el cambio de tasa de y? ​​Esa es la razón por la que comencé a pensar si 6 y 9 están conectados, y ese cambio en y significó la pendiente causa cambios en y.) Cómo ¿Causa 6 un cambio en la tasa de y? ​​¿Cómo cambia la tasa de la función?

Explicación:

Realmente no hay relación entre el 6 en f'(x) = 6 y el 9 en f(x) = 9.

Si la tasa de cambio de y frente a x es 6 en ese punto, entonces hablando de manera informal y aproximada, si x cambia en una pequeña cantidad, entonces y cambiará en aproximadamente 6 veces esa pequeña cantidad. Por ejemplo, si x cambia en 0,001, entonces y cambiará en aproximadamente 0,006.

Más específicamente, si x cambia de 3 a 3,001, entonces y cambiará de 9 a aproximadamente 9,006. Voy a explicar esto a continuación.

Ahora considere un valor de x diferente, al que llamaré x' (pronunciado "x primo"). Esto no significa la derivada de x, solo significa un valor de x diferente. Como está cerca del valor original de x, podemos usarlo para aproximar el valor de la función en ese nuevo valor de x'.

Δx = x' - x = 0,001

Δf ≈ f'(x) Δx = (6) (0,001) = 0,006

f(x') ≈ f(x) + Δf = 9 + 0,006 = 9,006 (Valor aproximado).

Entonces, en cierto modo, el 6 está relacionado con los valores de y cerca del punto que estamos viendo. Si miramos el único punto donde x=3, entonces y=9 en ese punto. Si observamos valores cercanos de x (muy cercanos a 3), entonces el cambio en y será aproximadamente 6 veces el cambio en x.

ahora, cuando x cambia de 3 a 5, es decir, x cambia en 2 unidades, entonces y debería cambiar 2*6=12, por lo tanto, 9+12=21 pero en x=5, y=25(x^2) entonces hay mucho de error a medida que aumenta la brecha entre los puntos, aumenta el error. ahora si digo que x cambia de 4.9 a 5 el error será menor obtengo 24.99 y x^2=25.

entonces f '(x) tiene una relación con los valores de y pero en una pequeña región alrededor de x=3.

mi principal problema era que solía pensar que si una pendiente es 6, entonces el valor y (en x=3, que aquí es 9) debería aumentar en 6, pero ahora entiendo el significado de "𝐰𝐢𝐭𝐡 𝐫𝐞𝐬𝐩𝐞𝐜𝐭 𝐭𝐨 𝐱". "con respecto a x" el significado se encuentra en esta oración. No me había concentrado tanto en el tema de la linealización y los diferenciales, así que supongo que me quedé atascado con esta consulta. gracias.