¿Es un sistema de Liouville integrable si y solo si su ecuación de Hamilton-Jacobi es separable?

En esta respuesta, elaboramos las diversas definiciones de integrabilidad, separabilidad y propiedad AA, para exponer sus (leves) diferencias.

1. Sea dado un sistema hamiltoniano autónomo de dimensión finita , definido en un conexo$2n$variedad simpléctica -dimensional $({\cal M},\{\cdot ,\cdot \})$.

2. Definición. El sistema es (completamente) Liouville integrable si existe$n$funciones definidas globalmente, de conmutación de Poisson, funcionalmente independientes$F_1, \ldots, F_n: {\cal M}\to \mathbb{R}$, de modo que el hamiltoniano$H=H(F)$es una función de$F_1, \ldots, F_n$, solo. Consulte también esta publicación Phys.SE relacionada.

3. Definición. El sistema es (completamente)$H$- separable si existe un atlas de coordenadas de Darboux $q^1, \ldots, q^n, p_1, \ldots, p_n : {\cal U}\to \mathbb{R}$con funciones de separación$F_1, \ldots, F_n: {\cal U}\to \mathbb{R}$en forma triangular

   $$F_1~=~F_1(q^1,p_1), \qquad F_2~=~F_2(q^2,p_2; F_1), \qquad F_3~=~F_3(q^3,p_3; F_1,F_2), \tag{1}$$ $$\qquad \ldots, \qquad F_n~=~F_n(q^n,p_n; F_1,\ldots, F_{n-1}),$$
   tal que el hamiltoniano$H=H(F)$es una función de$F_1, \ldots, F_n$, solo.

4. Tenga en cuenta que las funciones de separación$F_1, \ldots, F_n$de la Definición 3 son automáticamente conmutables por Poisson y constantes de movimiento, pero no necesariamente funcionalmente independientes. definido globalmente$H$-separar el sistema de coordenadas de Darboux con funciones de separación funcionalmente independientes implica integrabilidad.

5. Teorema. Integrabilidad$\Rightarrow$ $H$-posibilidad de separación. Prueba: use el teorema de Caratheodory-Jacobi-Lie para extender las coordenadas de desplazamiento de Poisson$(F_1, \ldots, F_n)$en un atlas de los barrios de coordenadas de Darboux. el hamiltoniano$H(F)$está entonces en forma separable.$\Box$

6. Definición. El sistema se llama (completamente)$W$- separable si existe un atlas de coordenadas de Darboux$q^1, \ldots, q^n, p_1, \ldots, p_n : {\cal U}\to \mathbb{R}$y una función característica de Hamilton $W: {\cal U}\times \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$de la forma

   $$W(q;\alpha)~=~ \sum_{k=1}^n W_k(q^k;\alpha_1, \ldots, \alpha_n),\tag{2}$$ donde$\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$están$n$constantes de integración independientes, y donde $$p_k~:=~\frac{\partial W}{\partial q^k}, \qquad k~\in~\{1, \ldots, n\}. \tag{3}$$ tal que la ecuación de Hamilton-Jacobi (HJ) $$H\left(q,\frac{\partial W(q;\alpha)}{\partial q}\right)~=~h(\alpha)\tag{4}$$ Está satisfecho. Aquí$h:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$es una función dada.

7. caso donde$W$-posibilidad de separación$\Rightarrow$ $H$-separabilidad: Supongamos que el$n$constantes de integración$\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$se puede identificar con funciones de separación de conmutación de Poisson$F_k(z)$,$k\in\{1, \ldots, n\}$. Después$H=h(F)$y las funciones de separación se convierten en constantes de movimiento.

8. $H$-la separabilidad no implica necesariamente$W$-separabilidad ya que no hay garantía de que una función característica de Hamilton definida globalmente$W$existe como una solución a la ecuación HJ.

9. Definición. El sistema tiene la propiedad AA si existe un atlas de coordenadas de acción angular$(w^1,\ldots, w^n,J_1,\ldots, J_n)$, donde el simpléctico$2$-formulario$\omega=\sum_{k=1}^n\mathrm{d}J_k\wedge \mathrm{d}w^k$está en forma de Darboux, donde cada sistema de coordenadas AA es$w$-completo, y donde el hamiltoniano$H=H(J)$no depende de los angulos$w^k$. (Permitimos variables de "ángulo" no compactas. Las variables de ángulo compacto tienen un período de unidad$w^k\sim w^k+1$.)

10. La propiedad AA implica claramente todas las condiciones de separabilidad. Un sistema de coordenadas de acción de ángulo definido globalmente implica integrabilidad.

11. Caso donde la integrabilidad$\Rightarrow$Propiedad AA: Asumir$\forall f=(f_1,\ldots, f_n)\in\mathbb{R}^n$que marca el nivel$\bigcap_{k=1}^n F_k^{-1}(\{f_k\})$son compactos en${\cal M}$. Entonces el teorema de Liouville-Arnold muestra la propiedad AA. Para una prueba del teorema de Liouville-Arnold, vea mi respuesta Phys.SE aquí .

Creo que no está claro hasta qué punto las nociones de integrabilidad y separabilidad se implican mutuamente. La prueba estricta de integrabilidad requiere encontrar las transformaciones de coordenadas que dan las variables de ángulo de acción y verificar que sean suaves e invertibles. Por otra parte, se suele afirmar que un sistema con$n$grados de libertad es Liouville integrable si la dinámica es capaz de producir$n$períodos de movimiento. En muchos sistemas, las simetrías son obvias en el sentido de que proporcionan constantes de movimiento y este conocimiento le ayuda a obtener las coordenadas del ángulo de acción. Pero esto puede no ser siempre posible, incluso si el sistema en consideración tiene órbitas limitadas: puede encontrar casos en los que las trayectorias son cuasiperiódicas, pero no hay garantía de que exista una transformación de coordenadas en coordenadas de ángulo de acción. Una situación similar surge en la versión cuántica de la red de Toda. Puede echar un vistazo a una breve discusión sobre esto en el Caos de Gutzwiller en la mecánica clásica y cuántica, sección 3.7

Jose-Saletan en la página 321 establece claramente que las variables de ángulo de acción pueden existir a pesar de la ausencia de separabilidad de la ecuación de Hamilton-Jacobi. Entonces, creo que el uso de la frase "si y solo si" es incorrecto.