Constantes de movimiento frente a integrales de movimiento frente a primeras integrales

1) Una constante de movimiento $f(z,t)$es una función (definida globalmente, suave)$f:M\times [t_i,t_f] \to \mathbb{R}$de las variables dinámicas$z\in M$y tiempo$t\in[t_i,t_f]$, tal que el mapa

$$[t_i,t_f]~\ni ~t~~\mapsto~~f(\gamma(t),t)~\in~ \mathbb{R}$$ no depende del tiempo para cada curva solución $z=\gamma(t)$a las ecuaciones de movimiento del sistema.

Una integral de movimiento/primera integral es una constante de movimiento$f(z)$eso no depende explícitamente del tiempo.

2) A continuación, por simplicidad, limitémonos al caso en que el sistema es un sistema autónomo de dimensión finita.$^1$Sistema hamiltoniano con hamiltoniano$H:M \to \mathbb{R}$en un$2N$variedad simpléctica -dimensional$(M,\omega)$.

Tal sistema se llama (Liouville/completamente) integrable si existen$N$funcionalmente independiente$^2$, desplazamiento de Poisson, funciones definidas globalmente$I_1, \ldots, I_N: M\to \mathbb{R}$, de modo que el hamiltoniano$H$es una función de$I_1, \ldots, I_N$, solamente.

Tal sistema integrable se llama máximamente superintegrable si además existen$N-1$ integrales de movimiento definidas globalmente$I_{N+1}, \ldots, I_{2N-1}: M\to \mathbb{R}$, de modo que el conjunto combinado$(I_{1}, \ldots, I_{2N-1})$es funcionalmente independiente.

Del teorema de Caratheodory-Jacobi-Lie se deduce que todo sistema hamiltoniano autónomo de dimensión finita en una variedad simpléctica$(M,\omega)$es localmente máximamente superintegrable en vecindarios locales suficientemente pequeños alrededor de cualquier punto de$M$(aparte de los puntos críticos del hamiltoniano).

El punto principal es que la integrabilidad ( global ) es rara, mientras que la integrabilidad local es genérica.

--

$^1$Un sistema hamiltoniano autónomo significa que ni el hamiltoniano$H$ni la simpléctica de dos formas$\omega$depender explícitamente del tiempo$t$.

$^2$Geometría diferencial exterior$N$funciones$I_1, \ldots, I_N$se llaman funcionalmente independientes si

$$\forall F:~~ \left[z\mapsto F(I_1(z), \ldots, I_N(z)) \text{ is the zero-function} \right]~~\Rightarrow~~ F \text{ is the zero-function}.$$ Sin embargo, dentro de la geometría diferencial, que es el marco convencional para los sistemas dinámicos, $N$funciones $I_1, \ldots, I_N$se llaman funcionalmente independientes si $\mathrm{d}I_1\wedge \ldots\wedge \mathrm{d}I_N\neq 0$no se desvanece en ninguna parte. De manera equivalente, la matriz rectangular $$\left(\frac{\partial I_k}{\partial z^K}\right)_{1\leq k\leq N, 1\leq K\leq 2N}$$ tiene rango máximo en todos los puntos $z$. si solo $\mathrm{d}I_1\wedge \ldots\wedge \mathrm{d}I_N\neq 0$tiene ae , entonces, estrictamente hablando, se debe eliminar la variedad simpléctica $M$de estas órbitas singulares.