Completa vs Integral General de PDE de primer orden

En la teoría general de las ecuaciones diferenciales parciales y específicamente para las ecuaciones diferenciales parciales de primer orden, se define la solución general (integral general de Landau) y la integral completa de la siguiente manera:

Para una ecuación diferencial parcial bidimensional de primer orden

$$f(x,y,z,z_x,z_y)=0. \tag{1}$$ Integral completa : una familia de dos parámetros de soluciones implícitas de la forma (2) de (1) se denomina integral completa de la ecuación diferencial parcial. $$\phi(x,y,z,a,b)=0. \tag{2}$$ Solución general: Una función de la forma (3), donde $u(x,y,z)$y $v(x,y,z)$son funciones de $x,y,z$y $\Phi$es una función suave arbitraria, $\Phi$se llama una solución general (implícita o explícita) de (1), si $z,z_x,z_y$determinado por la relación (3) satisfacen (1) $$\Phi(u,v)=0\tag{3}.$$

*Si tenemos una integral completa (2) de (1), podemos derivar una solución general (3), mostraríamos esto más adelante en la publicación, pero primero, veamos cómo derivar la PDE (1) de la integral completa (2).

Si tenemos una integral completa (2), podemos obtener$d\phi/dx$y$d\phi/dy$:

$$\phi_x+z_x\phi_z=0. \tag{4}$$ $$\phi_y+z_y\phi_z=0. \tag{5}$$

Con (2),(4),(5) podemos obtener una expresión de la forma (1) libre de los parámetros$a$y$b$. Si (1) se obtiene exactamente de (2), (4), (5) entonces$\phi$es una solución de la PDE (1).

Ahora, para derivar una solución general (3) de una integral completa (2), podemos imponer$b=W(a)$en la solución completa (2), obteniendo$\Phi(x,y,z,a,W(a))$, e imponer la condición$d\Phi/da=0$,

$$\frac{d\Phi}{da}=\Phi_a(x,y,z,a,W(a))+W'(a)\Phi_W(x,y,z,a,W(a))=0. \tag{6}$$

Con (6) podemos escribir$a=A(x,y,z)$como una función de$x,y,z$. Entonces, la solución general derivada de (2) se puede escribir como

$$\Phi\Big(x,y,z,A(x,y,z),W(A(x,y,z))\Big) = 0. \tag{7}$$

Podemos ver que (7) de hecho coincide con nuestra definición de solución general. Ahora probaremos que (7) es una solución de (1), nuevamente$d\Phi/dx$y$d\Phi/dy$

$$\Phi_x+z_x\Phi_z+ \Phi_A A_x+\Phi_W W'(A) A_x =0. \tag{8}$$ $$\Phi_y+z_y\Phi_z+ \Phi_A A_y+\Phi_W W'(A) A_y =0. \tag{9}$$

Ahora, aplicando la condición (6), las ecuaciones (8) y (9) producen:

$$\Phi_x+z_x\Phi_z =0. \tag{8}$$ $$\Phi_y+z_y\Phi_z =0. \tag{9}$$

Ahora los sistemas de ecuaciones (2), (4), (5) producen la misma expresión derivada (1) que (7), (8), (9), ahora$\Phi\Big(x,y,z,A(x,y,z),W(A(x,y,z))\Big)$es una solución general de (1) y podemos ver que obtenemos una solución diferente para cada función$W$.

Podemos ver que esta solución está libre de los parámetros$a$y$b$, cuando elegimos una función particular$W$obtenemos una solución particular para la PDE.

Landau generaliza este resultado en su nota al pie; sin embargo, lo hace para una ecuación más sencilla, no para una PDE general de primer orden (1). Los pasos que hace son los mismos que hicimos para una PDE general bidimensional de primer orden.

En ruso, "integral" es sinónimo de solución de ecuación diferencial. "integral general" significa solución general, "completa" probablemente significa la suma de la solución particular y la solución general (llamada solución complementaria)

iPDEs

La noción de "integral completa" aquí se refiere a soluciones de PDE específicas (primer orden) que dependen del número máximo de constantes de movimiento. Si desea un ejemplo concreto, puedo referirlo a la Ecuación (10) de este documento , o incluso mejor a la Ref. [10] en ese documento.

Una "solución general", por el contrario, no necesita depender explícitamente de las constantes de movimiento, pero generalmente contiene alguna función libre (integración). Como ejemplo de una solución que no depende explícitamente de las constantes de movimiento, consulte la "solución envolvente" en la ecuación. (11) del artículo anterior.

[Nunca encontré estas nociones en ninguna parte, excepto al resolver las ecuaciones de Hamilton-Jacobi; este parece ser también el contexto al que se refiere Landau].