Oscilador armónico 2D que tiene 4 constantes de movimiento y superintegrabilidad

Los cuatro invariantes

$$2E_x=p_x^2+x^2, \qquad 2E_y=p_y^2+y^2, \qquad L=yp_x-xp_y, \qquad K=xy+p_xp_y,$$ son linealmente independientes, según el requisito del método algebraico lineal de ese artículo; pero no son cantidades algebraicamente independientes, por supuesto, qua hipersuperficies en el espacio de fase 4d.

Puedes comprobar fácilmente que

$$L^2+K^2=4E_xE_y.$$ Esto es bueno, para que haya una trayectoria en el espacio de fase y la partícula no se congele: la partícula debe estar en todas las superficies constantes, y su trayectoria es la intersección de cualquiera de las tres. ¡Uno independiente lo cruzaría en un punto y lo congelaría!

Recuerda que la simetría del sistema es SU(2). Los 4 invariantes representan los 3 generadores$L,K,2(E_x-E_y)$ y la identidad (Hamiltoniana), por lo tanto, la invariante Casimiro cuadrática de la misma.

La dependencia análoga está en el trabajo, más sorprendentemente, en el oscilador 3d, cf 194768 , cuya simetría es SU(3) . Puedes elegir el conjunto independiente$E_1,E_2,E_3,L_{12},L_{23}$.

Pero, como regla, en n d, tiene 2 n –1 invariantes independientes, por lo que una trayectoria completamente especificada como su intersección: superintegrabilidad.