¿Cómo probar que un sistema hamiltoniano *no* es integrable en Liouville?

Probar explícitamente la no integrabilidad de un sistema hamiltoniano arbitrario es un problema abierto.

Para algunas clases de sistemas hamiltonianos (por ejemplo, sistemas en un plano) es posible probar explícitamente la no integrabilidad del sistema, utilizando los teoremas de Poincaré, Burns, Ziglin y Yoshida (y generalizaciones).

Por ejemplo, hay un teorema de Poincaré:

Para un hamiltoniano de la forma:

1:    $H = \frac{p_x^2 + p_y^2}{2} + V(x,y)$

Si el hamiltoniano (1) puede tener una solución periódica aislada , entonces el sistema no es integrable (en concreto no existe una segunda integral de movimiento que sea independiente de la$H$)

Para conocer el significado de la solución periódica aislada en relación con el método de Poincaré, consulte, por ejemplo , aquí y aquí .

El teorema de Ziglin tiene aplicaciones más extensas:

Si el sistema hamiltoniano (1) es integrable y existe una matriz monodrómica $\Delta$del grupo monodrómico de la ecuación de variaciones verticales , entonces cualquier otra matriz monodrómica $\Delta'$debe viajar con$\Delta$o sus valores propios deben ser$i, -i$

El teorema de Yoshida involucra sistemas hamiltonianos con potenciales homogéneos (por ejemplo, ver aquí para una generalización)

Los enfoques relacionados implican las propiedades de Painleve y la caracterización de las ecuaciones de movimiento (por ejemplo , aquí , aquí y aquí ).

Además, existen enfoques de la integrabilidad que implican la teoría diferencial de Galois (es decir , la teoría de Galois para ecuaciones diferenciales) donde se tiene la analogía de la resolución -> integrabilidad . Este enfoque también puede unificar varios otros enfoques (por ejemplo , here y here )

El usuario Nikos M ya ha dado una buena respuesta. Aquí nos gustaría mencionar el siguiente teorema de Poincaré, que puede usarse para probar la inexistencia de integrales de movimiento, cf. por ejemplo , esta publicación de Phys.SE.

Teorema de Poincaré (1892):

• Considere un sistema hamiltoniano autónomo en un$2n$variedad simpléctica -dimensional$({\cal M}, \{\cdot,\cdot\})$equipado con función hamiltoniana$H:{\cal M}\to \mathbb{R}$.

• Sea dado con una solución periódica$\Gamma(t)=\Gamma(t+T)$con punto de inicio y final$p=\Gamma(0)=\Gamma(T)\in {\cal M}$.

• Que se dé$r$integrales de movimiento con conmutación de Poisson funcionalmente independientes$F_1,\ldots, F_r$en un barrio tubular${\cal U}\subseteq {\cal M}$de$\Gamma$, dónde$r\leq n$, y donde el hamiltoniano$H|_{\cal U}$es una función de$F_1,\ldots, F_r$solamente.

• Dejar$\sigma: {\cal M} \times \mathbb{R} \to {\cal M}$denote el flujo hamiltoniano correspondiente al campo vectorial hamiltoniano$X_{-H}=\{-H,\cdot\}$.

Entonces el mapa de monodromía $\sigma_{\ast}(p,T): T_p{\cal M}\to T_p{\cal M}$en el punto$p$posee$r$vectores propios$X_{-F_1}(p), \ldots, X_{-F_r}(p),$y$r$co-vectores propios$\mathrm{d}F_1(p), \ldots, \mathrm{d}F_r(p),$todos con valor propio$1$. De hecho, el mapa de monodromía$\sigma_{\ast}(p,T)$tiene un valor propio ( generalizado ) 1 con multiplicidad$2r$.

Prueba esbozada del teorema de Poincaré:

1. en un barrio de$p\in {\cal M}$, podemos usar el teorema de Caratheodory-Jacobi-Lie para construir las coordenadas locales de Darboux

   $$z^I ~=~(\varphi^1, \ldots, \varphi^r, q^1,\ldots, q^{n-r}, p_1,\ldots, p_{n-r}, F_1, \ldots, F_r ),$$ con corchetes de Poisson canónicos distintos de cero $$\{\varphi^i, F_j\} ~=~\delta^i_j, \qquad i,j\in\{1, \ldots, r\},$$ $$\{q^a, p_b\} ~=~\delta^a_b, \qquad a,b\in\{1, \ldots, n-r\}.$$

2. La matriz de la monodromía

   $$M^I{}_J ~=~ \frac{\partial z^I(T)}{\partial z^J(0)}, \qquad I,J\in\{1, \ldots, 2n\},$$ en el punto$p$posee$r$co-vectores propios $$\begin{align} &\begin{bmatrix} \vec{0}^T{}_{1\times r}& \vec{0}^T{}_{1\times 2(n-r)}&\vec{e}_i^T{}_{1\times r}\end{bmatrix}_{1\times 2n}\cr ~=~& \frac{\partial F_i(z(0))}{\partial z^I(0)}\cr ~=~&\frac{\partial F_i(z(T))}{\partial z^I(0)} \cr ~=~&\frac{\partial F_i(z(T))}{\partial z^J(T)}\frac{\partial z^J(T)}{\partial z^I(0)}\cr ~=~&\frac{\partial F_i(z(0))}{\partial z^J(0)} M^J{}_I,\end{align}$$ $i\in\{1, \ldots, r\}$, con valor propio 1.

3. Dado que el flujo$\sigma$es hamiltoniano, la matriz monodromía$M$debe ser simple

   $$\begin{align} \{z^I(T),z^J(T)\}~=~& \{z^I(0),z^J(0)\}, \cr I,J~\in~&\{1, \ldots, 2n\},\end{align}$$ o equivalente, $$\begin{align} M^T\omega M~=~&\omega, \cr \omega ~=~& \begin{bmatrix} \mathbb{0}_{n\times n} & -\mathbb{1}_{n\times n}\cr \mathbb{1}_{n\times n} & \mathbb{0}_{n\times n} \end{bmatrix}_{2n\times 2n} .\end{align}$$ Por lo tanto la matriz monodromía tiene$r$vectores propios $$\begin{align} \begin{bmatrix} \vec{e}_i{~}_{r\times 1} \cr \vec{0}{~}_{2(n-r)\times 1} \cr \vec{0}{~}_{r\times 1}\end{bmatrix}_{2n\times 1} ~=~&X^I_{-F_i}\cr ~=~&\{z^I(0),F_i \}\cr ~=~&\{z^I(T),F_i \} \cr ~=~&\frac{\partial z^I(T)}{\partial z^J(0)} \{z^J(0),F_i \}\cr ~=~& M^I{}_J \{z^J(0),F_i \}\cr ~=~& M^I{}_J X^J_{-F_i},\end{align}$$ $i\in\{1, \ldots, r\}$, con valor propio 1.

4. En total, deducimos que la matriz monodromía$M$tiene la siguiente forma triangular de bloques

   $$M ~=~ \begin{bmatrix} \mathbb{1}_{r\times r} & \ast & \ast \cr \mathbb{0}_{2(n-r)\times r} & \ast & \ast \cr \mathbb{0}_{r\times r} &\mathbb{0}_{r\times 2(n-r)}& \mathbb{1}_{r\times r}\end{bmatrix}_{2n\times 2n} .$$ De ahí el polinomio característico$\det(M-\lambda \mathbb{1}_{2n\times 2n} )$tiene valor propio generalizado 1 con multiplicidad$2r$.$\Box$

Corolario de Poincaré: si un sistema integrado de Liouville hamiltoniano autónomo tiene una solución periódica$\Gamma(t)=\Gamma(t+T)$, entonces la matriz de monodromía para el sistema linealizado a lo largo de$\Gamma$solo puede tener 1 como valor propio ( generalizado ).

Referencias:

1. H. Poincaré, Les Methodes Nouvelles de la Mecanique Celeste , vol. yo, (1892); pags. 192-198.

2. A. Chenciner, Poincaré y el problema de los tres cuerpos , (2012); pags. 87. (Punta de sombrero: Nikos M. )

3. JJ Morales-Ruiz, Teoría diferencial de Galois y no integrabilidad de los sistemas hamiltonianos, Progress in Math. 179 (1999) ; pags. 3-4 y pág. 57.