Sistemas generales de dos estados y oscilaciones de Rabi

He estado trabajando en esto durante bastante tiempo y parece que no puedo resolverlo. Me interesa la dinámica de un sistema general de dos estados, específicamente el caso de una partícula en un campo magnético constante junto con un campo magnético dependiente del tiempo.

Comencemos con el caso simple, solo una partícula en un campo magnético estático, digamos$\vec{B} = B_0 \hat{k}$. Entonces, el hamiltoniano para el sistema vendrá de la interacción del momento dipolar con el campo, es decir

$$\hat{H} = -\hat{\mu} \cdot \vec{B}$$ Sabemos que el momento dipolar magnético es proporcional al espín intrínseco del sistema como $$\hat{\mu} = \gamma \hat{S},$$ dónde $\gamma$es la relación giromagnética. Ok, nuestro hamiltoniano es $$\hat{H} = -\gamma B_0 \hat{S}_z = \omega_0 \hat{S}_z,$$ dónde $\omega_0$se conoce como la frecuencia de Larmor. La dinámica de esto es muy fácil, el giro solo sufre una precesión sobre el $z$-eje. Si empezamos en el estado, digamos $$|\psi(0)> = |+x> = \frac{1}{\sqrt{2}}(|+z> + |-z>),$$ entonces la evolución será $$|\psi(t)> = e^{-i \omega_0 t/2}\frac{1}{\sqrt{2}}(|+z> + e^{i \omega_0 t}|-z>).$$ Vemos que la probabilidad de un "cambio" de estado a $|-x>$es dado por $$|<-x|\psi(t)>|^2 = |\frac{1}{2}(<+z|-<-z|)(|+z> + e^{i \omega_0 t}|-z>)|^2 = \boxed{\sin^2\Big(\frac{\omega_0}{2}t\Big)}.$$ Ok, vemos que se voltea por momentos $T_n = \frac{\pi}{\omega_0}(2n-1)$, dónde $n$es solo un entero positivo. Todo esto está bien y bien. Ahora añadimos un campo magnético dependiente del tiempo de la forma $$\vec{B} = B_1(\cos(\omega t) \hat{i} + \sin(\omega t) \hat{j}).$$ Este es un campo magnético oscilante sobre el campo magnético anterior en el $z$dirección. Nuestro nuevo hamiltoniano se convierte en (le estoy quitando el sombrero a los operadores...) $$H = H_0 + H_1 = \omega_0 S_z + \omega_R(\cos(\omega t) S_x + \sin(\omega t) S_y),$$ dónde $\omega_R$se conoce como la frecuencia de Rabi. Aquí es donde estoy atascado. Ahora tenemos un hamiltoniano con espines en todas las direcciones (también dependiente del tiempo), por lo que no podemos simplemente construir el operador de evolución temporal y actuar en el estado inicial como lo hicimos antes. Tenemos un par de opciones más para elegir. Traté de construir la representación matricial de este operador en términos de los estados base (que elegimos para ser $|\pm z>$). El hamiltoniano resultante será $$H \doteq \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} \omega_0 & \omega_R e^{-i\omega t} \\ \omega_R e^{i \omega t} & -\omega_0 \end{pmatrix}$$ De hecho, este es el hamiltoniano más general para un sistema de dos estados. Pero todavía estoy atascado porque no tengo ni idea de cómo encontrar los valores propios y los estados propios de este hamiltoniano. llego tan lejos como $$\frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} \omega_0 & \omega_R e^{-i\omega t} \\ \omega_R e^{i \omega t} & -\omega_0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = i\hbar \begin{pmatrix} \dot{a} \\ \dot{b} \end{pmatrix},$$ que es simplemente la ecuación de Schrödinger para el estado $|\psi(t)> = a(t) |+z> + b(t) |-z>$. Pero todavía no puedo resolver estos conjuntos de ecuaciones diferenciales debido a la dependencia del tiempo.

Ok, entonces traté de deshacerme de esta dependencia del tiempo haciendo una transformación unitaria en el hamiltoniano, es decir

$$H \rightarrow UHU^{\dagger}.$$ Esto es equivalente a transformarse en el marco de referencia giratorio, girando con el campo magnético. De un video que encontré en línea del curso de Física Atómica y Óptica del MIT (Clase 4, minuto 50), el profesor dijo que eligiera la transformación unitaria como $$U = \begin{pmatrix} e^{i\omega t/2} & 0 \\ 0 & e^{-i \omega t/2} \end{pmatrix}$$ Pero esto también me confunde. Esta es solo la representación del operador de rotación en el $z$dirección en el $z$base, girando un ángulo $\theta = \omega t$. Al transformar el hamiltoniano, obtengo $$\begin{align*} H' &= \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} e^{i\omega t/2} & 0 \\ 0 & e^{-i \omega t/2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \omega_0 & \omega_R e^{-i\omega t} \\ \omega_R e^{i \omega t} & -\omega_0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{-i\omega t/2} & 0 \\ 0 & e^{i \omega t/2} \end{pmatrix} \\ &= \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} \omega_0 & \omega_R \\ \omega_R & -\omega_0 \end{pmatrix}. \end{align*}$$ Una vez más, esto no es lo que queremos, todo el $\omega$se acaba el término! En la conferencia, el profesor dijo que al hacer esta transformación, se supone que debes obtener $$H' = \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} \delta & \omega_R \\ \omega_R & -\delta \end{pmatrix},$$ dónde $\delta = \omega - \omega_0$, pero simplemente no estoy entendiendo esto.

Pero como sea, digamos que en realidad hay una transformación unitaria que me dará esta vez un hamiltoniano independiente . Bien, podemos conectar esto a la ecuación de Schrödinger y obtener

$$\frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} \delta & \omega_R \\ \omega_R & -\delta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = i\hbar \begin{pmatrix} \dot{a} \\ \dot{b} \end{pmatrix}$$ Pero cuando trato de resolver esto, termino obteniendo algunas tonterías.

Lo último que intenté fue encontrar los estados propios de energía de este nuevo hamiltoniano, ya que la evolución sería simple en ese caso. Si conociéramos los estados de energía, entonces podemos escribir nuestro estado inicial en esa base, es decir

$$|\psi(t=0)> = c_0 |E+> + c_1 |E->.$$ Entonces, la evolución es simple; simplemente sumas las exponenciales como $$|\psi(t)> = c_0 e^{-iE_{+}t/\hbar} |E+> + c_1 e^{-iE_{-}t/\hbar}|E->.$$ Sin embargo, ese proceso es extremadamente tedioso y después de encontrar los valores propios de energía $E_{\pm} = \pm \sqrt{\delta^2 + \omega_R^2}$, el resto llevaría mucho tiempo hacerlo, si fuera correcto. Siento que debe haber una manera más simple de resolver este problema. Cualquier ayuda en absoluto sería muy apreciada, gracias.