Escribir un enredo en notación bra-ket

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Escribir un enredo en notación bra-ket

usuario129412

Tengo una situación relativamente compleja (al menos para mí) que me gustaría capturar en notación bra-ket, más que en palabras. Sin embargo, no he podido encontrar una fuente que me ayude a comprender mejor cómo hacerlo, y esperaba que alguno de ustedes pudiera ayudarme. Primero describiré exactamente lo que quiero expresar, para que quede un poco más claro lo que quiero decir. Tenga en cuenta que esta no es una pregunta de tarea o algo así, tiene que ver con un experimento que se me ocurrió, por lo que es probable que sea algo imposible escribirlo de la manera que quiero.

Tengo un sistema que vive en la esfera de Bloch , como este, pero con $\left|\uparrow\right>$ en lugar de $\left|0\right>$ y $\left|\downarrow\right>$ en lugar de $\left|1\right>$

Ahora, inicialmente puedo inicializar completamente algo, digamos un giro, en 1 estado, siendo $\left|0\right>$ . Luego, giro el estado por pi/2 alrededor del eje x, y espero un tiempo t. En este tiempo t suceden cosas más complejas. Dependiendo del estado de un segundo giro, sucederán cosas. Este segundo giro puede estar en cualquiera de los tres estados, $\left|-1\right>$ , $\left|0\right>$ y $\left|1\right>$ .

Ahora, durante este tiempo $t$ , el estado del primer espín precederá sobre la esfera de Bloch dependiendo del estado del segundo espín. Si el segundo giro está en estado $\left|-1\right>$ el primer estado rotará alrededor del eje z en el sentido de las agujas del reloj, si el segundo giro está en el estado $\left|0\right>$ el primer giro no cambiará, y si el segundo giro está en estado $\left|1\right>$ el primer giro girará sobre el $z$ -eje en sentido antihorario.

Entonces, después de este tiempo $t$ , rotaré el primer giro nuevamente, pero esta vez por $\pi/2$ alrededor de $y$ -eje. Esto significa que si elijo t tal que sea exactamente una cuarta parte del período en el que el espín hace un círculo completo, los dos estados de espín se entrelazarán. Puedo usar esto para establecer cuál es el segundo estado de giro leyendo el primer estado de giro:

Entiendo que esto probablemente podría ser un poco confuso, lo que, por supuesto, también es la razón principal por la que solo querría escribir esto en una notación de bra-ket agradable y limpia. Si hay algo en particular que no está claro, por favor hágamelo saber. Y si alguien pudiera ayudarme a comenzar (posiblemente señalándome un ejemplo similar) estaría muy agradecido.

Editar: Muy bien, he leído un poco sobre lo que pude encontrar, y esto es lo lejos que llego ahora

Inicialmente: $\left|\psi\right>$ = $\left|\psi_1\right> \otimes \left|\psi_2\right> = \left|\uparrow\right> \otimes \frac{1}{\sqrt{3}}\left( \left|-1\right> + \left|0\right>+ \left|1\right> \right)$

Girar primer giro por $\pi /2$ alrededor del eje x

$\left|\psi\right>$ = $R_x (\frac{\pi}{2}) \left|\psi_1\right> \otimes \left|\psi_2\right> = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \left|\uparrow\right> -i \left|\downarrow\right> \right) \otimes \frac{1}{\sqrt{3}}\left( \left|-1\right> + \left|0\right>+ \left|1\right> \right)$

Pero aquí me vuelvo a atascar, ya que es aquí donde tiene que ocurrir la rotación condicional al segundo giro, y no sé cómo hacerlo.

usuario129412

Por supuesto, sería mejor si pudiera hacer esto para un ángulo de rotación general phi y un tiempo general t (un eje general lo hará bastante complicado, ya sea x o y está bien para mis propósitos)

Respuestas (2)

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Por supuesto, sería mejor si pudiera hacer esto para un ángulo de rotación general phi y un tiempo general t (un eje general lo hará bastante complicado, ya sea x o y está bien para mis propósitos)

Martín · Answer 1

Bien, no entiendo muy bien los detalles de lo que estás haciendo, pero como esto es álgebra lineal, te aconsejo que uses álgebra lineal. Luego puede transferir fácilmente entre la notación bra-ket y las matrices.

Primero, arreglemos de lo que estamos hablando: tiene un sistema $A$ que contiene un espín, por lo que el sistema es un espacio $\mathbb{C}^2$ con estados base $|0\rangle,|1\rangle$ (abajo y arriba; por supuesto, puede nombrarlos abajo y arriba, pero eso no cambia nada). Además, tienes un segundo sistema $B$ con un estado que puede estar en $|-1\rangle,|0\rangle,|1\rangle$ , es decir, un $\mathbb{C}^3$ .

Esto significa que sus estados viven en $\mathbb{C}^2\otimes \mathbb{C}^3$ y vuestras evoluciones temporales serán sólo algunas unidades de este espacio. Para escribirlos más fácilmente, elijamos una ordenación de la base $|0\rangle\otimes|-1\rangle,|0\rangle\otimes|0\rangle,|0\rangle\otimes|1\rangle,|1\rangle\otimes|-1\rangle,|1\rangle\otimes|0\rangle,|1\rangle\otimes|1\rangle$ , Lo que significa que $|0\rangle\otimes|-1\rangle$ corresponde al vector $(1,0,0,0,0,0)^{\mathrm{tr}}\in\mathbb{C}^2\otimes \mathbb{C}^3$ .

Elegir tal base hace que sea más fácil escribir las unidades correspondientes. Permítanme hacer dos ejemplos:

Rotas el primer giro pi/2 alrededor del eje x. Una rotación de un espín alrededor del eje x no es más que la evolución unitaria del eje Pauli-x. Puede demostrar que una rotación de la esfera de Bloch alrededor de un eje $\boldsymbol n$ por un ángulo $\theta$ es dado por

R_{norte} (θ) = {mi}^{- i θ σ \cdot norte / 2}

$R_{\boldsymbol n}(\theta)=e^{-i\theta \boldsymbol \sigma\cdot \boldsymbol n/2}$ dónde

σ

$\boldsymbol \sigma$ es el vector de Pauli-matrices.

Así, una simple rotación de la primera parte del sistema por $\pi/2$ alrededor del eje x está dada por el unitario

{mi}^{- i π X / 4} \otimes 1_{3} \in B (C^{2} \otimes C^{3})

$e^{-i\pi X/4}\otimes 1_3 \in \mathcal{B}(\mathbb{C}^2\otimes \mathbb{C}^3)$ con la identidad actuando sobre el segundo sistema.

Ahora, suponga que desea implementar un condicional unitario. Bueno, nada más fácil que eso, simplemente lo inventa. Usted sabe dónde deberían terminar sus estados base (simplemente escriba cómo se verá el estado después de la aplicación del condicional unitario para cualquiera de los estados base $|0\rangle\otimes|-1\rangle,|0\rangle\otimes|0\rangle,|0\rangle\otimes|1\rangle,|1\rangle\otimes|-1\rangle,|1\rangle\otimes|0\rangle,|1\rangle\otimes|1\rangle$ . Esto le dará todas las entradas de un $6\times 6$ unitario correspondiente al operador. Ya que tienes un parámetro $t$ , tu unitario será $t$ -dependiente.

Esto le permite crear unitarios para cada paso del camino. Ahora, para obtener la unidad general de todo el proceso, solo tiene que multiplicarlos todos de derecha a izquierda (los procesos posteriores se multiplican desde la izquierda), como un circuito cuántico general.

En principio, ahora, para obtener su estado final, simplemente multiplique la matriz y su vector de estado inicial. Puede haber una advertencia aquí: no estoy completamente seguro de si realmente puede inicializar todo el sistema (es decir, ambas partes del sistema están en un estado específico, tal vez una superposición, tal vez no). Si puede, entonces esto corresponderá a algún vector, si no puede, necesitará usar matrices de densidad.

Gracias por tu gran respuesta. Voy a tratar de resolverlo de esta manera, a ver si puedo lograrlo. Parece que este es de hecho el camino a seguir.
Entiendo la mayor parte de lo que ha escrito, pero me confunde un poco la parte en la que describe cómo formar el condicional. Me acabo de dar cuenta de que lo que quería escribir aquí es demasiado largo, así que lo edité al final de mi 'respuesta' después de la tuya.

usuario129412 · Answer 2

Siguiendo lo que me explicaron anteriormente, creo que podría resolver mi problema escribiéndolo como tal:

Inicialmente:

| ψ ⟩ = | ψ_{1} ⟩ \otimes | ψ_{2} ⟩ = | ↑ ⟩ \otimes \frac{1}{\sqrt{3}} (| - 1 ⟩ + | 0 ⟩ + | 1 ⟩)

$\begin{equation} \left|\psi\right> = \left|\psi_1\right> \otimes \left|\psi_2\right> = \left|\uparrow\right> \otimes \frac{1}{\sqrt{3}}\left( \left|-1\right> + \left|0\right>+ \left|1\right> \right) \end{equation}$ Girando el primer giro por

π / 2

$\pi /2$ alrededor del eje x

| ψ ⟩ = ({mi}^{- i \frac{π}{4} X} \otimes I) \otimes (| ↑ ⟩ \otimes \frac{1}{\sqrt{3}} (| - 1 ⟩ + | 0 ⟩ + | 1 ⟩)) = \frac{1}{\sqrt{6}} (| ↑ ⟩ - i | ↓ ⟩) \otimes (| - 1 ⟩ + | 0 ⟩ + | 1 ⟩)

$\begin{equation} \left|\psi\right> = \left(e^{-i \frac{\pi}{4}X}\otimes I\right)\otimes \left( \left|\uparrow\right> \otimes \frac{1}{\sqrt{3}}\left( \left|-1\right> + \left|0\right>+ \left|1\right> \right) \right) = \frac{1}{\sqrt{6}} \left( \left|\uparrow\right> -i \left|\downarrow\right> \right) \otimes \left( \left|-1\right> + \left|0\right>+ \left|1\right> \right) \end{equation}$ Rotación condicional:

\begin{matrix} | ψ ⟩ = R_{C o norte} \frac{1}{\sqrt{6}} (| ↑ ⟩ - i | ↓ ⟩) \otimes (| - 1 ⟩ + | 0 ⟩ + | 1 ⟩) \\ = \frac{1}{\sqrt{6}} [(| ↑ ⟩ + | ↓ ⟩) \otimes | - 1 ⟩ + (| ↑ ⟩ - i | ↓ ⟩) \otimes | 0 ⟩ + (| ↑ ⟩ - | ↓ ⟩) \otimes | 1 ⟩] \end{matrix}

$\begin{multline} \left|\psi\right> = R_{con}\frac{1}{\sqrt{6}} \left( \left|\uparrow\right> -i \left|\downarrow\right> \right) \otimes \left( \left|-1\right> + \left|0\right>+ \left|1\right> \right) \\ = \frac{1}{\sqrt{6}}\left[\left( \left|\uparrow\right> + \left|\downarrow\right> \right)\otimes\left|-1\right> + \left( \left|\uparrow\right> -i \left|\downarrow\right> \right)\otimes\left|0\right> + \left( \left|\uparrow\right> - \left|\downarrow\right> \right)\otimes\left|1\right>\right] \end{multline}$ Girando el primer giro por

π / 2

$\pi /2$ alrededor del eje y

\begin{matrix} | ψ ⟩ = ({mi}^{- i \frac{π}{4} X} \otimes I) \otimes \frac{1}{\sqrt{6}} [(| ↑ ⟩ + | ↓ ⟩) \otimes | - 1 ⟩ + (| ↑ ⟩ - i | ↓ ⟩) \otimes | 0 ⟩ + (| ↑ ⟩ - | ↓ ⟩) \otimes | 1 ⟩] \\ = \frac{1}{\sqrt{3}} | ↓ ⟩ \otimes | - 1 ⟩ + \frac{1}{\sqrt{3}} | ↑ ⟩ \otimes | 1 ⟩ + \frac{1}{\sqrt{6}} (| ↑ ⟩ + | ↓ ⟩) \otimes | 0 ⟩ \end{matrix}

$\begin{multline} \left|\psi\right> = \left(e^{-i \frac{\pi}{4}X}\otimes I\right)\otimes \frac{1}{\sqrt{6}}\left[\left( \left|\uparrow\right> + \left|\downarrow\right> \right)\otimes\left|-1\right> + \left( \left|\uparrow\right> -i \left|\downarrow\right> \right)\otimes\left|0\right> + \left( \left|\uparrow\right> - \left|\downarrow\right> \right)\otimes\left|1\right>\right] \\ = \frac{1}{\sqrt{3}}\left|\downarrow\right>\otimes\left|-1\right> + \frac{1}{\sqrt{3}}\left|\uparrow\right>\otimes\left|1\right> + \frac{1}{\sqrt{6}} \left( \left|\uparrow\right> + \left|\downarrow\right> \right) \otimes\left|0\right> \end{multline}$

Aquí, todavía tengo que averiguar cuál es la forma real de la rotación condicional, por lo que aún queda. ¿Alguien podría ver si esto tiene sentido o no, lo que he escrito?

Para el condicional, sé que lo que quiero hacer es que R(t) funcione como se indica a continuación:

\begin{matrix} R_{C o norte} (1 / 4) (| ↑ ⟩ - i | ↓ ⟩) \otimes | - 1 ⟩ = (| ↑ ⟩ + | ↓ ⟩) \otimes | - 1 ⟩ \end{matrix}

$\begin{multline} R_{con}(1/4)\left( \left|\uparrow\right> -i \left|\downarrow\right> \right) \otimes \left|-1\right> = \left( \left|\uparrow\right> + \left|\downarrow\right> \right) \otimes \left|-1\right> \end{multline}$

\begin{matrix} R_{C o norte} (1 / 4) (| ↑ ⟩ - i | ↓ ⟩) \otimes | 0 ⟩ = (| ↑ ⟩ - i | ↓ ⟩) \otimes | 0 ⟩ \end{matrix}

$\begin{multline} R_{con}(1/4)\left( \left|\uparrow\right> -i \left|\downarrow\right> \right) \otimes \left|0\right> = \left( \left|\uparrow\right> -i \left|\downarrow\right> \right) \otimes \left|0\right> \end{multline}$

\begin{matrix} R_{C o norte} (1 / 4) (| ↑ ⟩ - i | ↓ ⟩) \otimes | 1 ⟩ = (| ↑ ⟩ - | ↓ ⟩) \otimes | 1 ⟩ \end{matrix}

$\begin{multline} R_{con}(1/4)\left( \left|\uparrow\right> -i \left|\downarrow\right> \right) \otimes \left|1\right> = \left( \left|\uparrow\right> - \left|\downarrow\right> \right) \otimes \left|1\right> \end{multline}$

¿Debería escribir literalmente toda la matriz de 6x6 que es Rcon y resolver todas sus entradas?
esa es en realidad una forma de hacerlo, aunque puede leer más o menos las entradas. Otra forma de hacerlo es notar que $R_{con~-1}(t)\otimes |-1\rangle\langle -1|+R_{con~0}(t)\otimes |0\rangle\langle 0| + R_{con~1}(t)\otimes |1\rangle\langle 1|$ con los condicionales unitarios 2x2 $R_{con}$ hace el truco (es unitario, ya que su base es ortogonal). Eso solo deja averiguar qué unitarios actúan condicionados a qué.

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