Spin en campo magnético y valores propios

Volvería a plantear el problema ligeramente para ajustarlo a la notación convencional. En cualquier discusión sobre resonancia magnética, de partículas de espín 1/2, ya sean electrones o, por ejemplo, protones, la dirección del campo magnético (polarizante) siempre se elige como +z en un marco de coordenadas de laboratorio. Luego, los dos estados estacionarios, que (por comodidad) escribo como |+> y |->, corresponden al espín alineado con su componente z del momento angular paralelo o antiparalelo al campo polarizador.

Los estados estacionarios son, de hecho, estados propios de la matriz de Pauli de componente z, con respecto al marco de coordenadas de laboratorio actual.

Entonces, el operador que ilustras es una combinación lineal de las tres matrices de Pauli en este marco. Cualquier matriz de Pauli (o combinación lineal de las mismas) actúa matemáticamente como generadora de una rotación infinitesimal del espín. Cada una de las matrices convencionales de Pauli x, y y z genera individualmente rotaciones infinitesimales del espín sobre estos ejes. La mejor discusión que conozco de esto es el libro del Mesías (como se señaló en una respuesta anterior, arriba); también puede consultar ME Rose 'Theory of Angular Momentum', que está disponible como una reimpresión de Dover.

La rotación de un eigenket te da un nuevo estado, pero no cambia tu base, que se define esencialmente por la dirección del campo magnético polarizador. Puede rotar los giros de la forma que desee, pero su resultado aún se expresará como una combinación lineal de esos mismos elementos propios, siempre que no cambie físicamente la dirección del campo.

Hasta ahora nos hemos ocupado exclusivamente de la rotación mecánica cuántica.

Una vez que introducimos la 'esfera de Bloch', necesitamos introducir las ecuaciones de Bloch, que son clásicas. De hecho, las ecuaciones de Bloch sin relajación son exactamente generadoras de rotaciones infinitesimales, pero para vectores clásicos tridimensionales, en concreto (en el caso de la resonancia magnética) la magnetización. Por lo general (por conveniencia) trato de mantener separadas en mi mente los puntos de vista clásico y cuántico, así que pienso en las matrices de Pauli como rotando un espín individual, y en las matrices de Bloch como rotando un vector de magnetización en masa que comprende la resultante de muchos millones de giros individuales.

Sin embargo, enfatizo que no hay un requisito lógico para ver las cosas de esta manera. La visión simple es que las matrices de Pauli dan una rotación cuántica y las matrices de Bloch dan una rotación clásica. No obstante, verá discusiones puramente cuánticas que también se refieren a la esfera de Bloch. No creo que esto deba causarle ninguna confusión.

Espero que esto ayude un poco; no dude en solicitar aclaraciones.

En mecánica cuántica, un "observable" como la posición de un átomo,$\hat X$, está representado por un operador hermitiano. Un "observable" es una cantidad física que realmente puede salir y medir, como la posición. Los valores propios de ese operador son los posibles resultados de la medición.

En la mecánica cuántica, un "sistema" (alguna entidad física que tiene propiedades que se pueden medir) como un átomo se describe como si estuviera en algún "estado", representado como un vector, por ejemplo,$|\Psi\rangle$, en el mismo espacio que el operador mencionado anteriormente.

Dada una colección infinita de sistemas preparados de manera idéntica, todos en el mismo estado, el valor promedio que encontrará si mide el observable en cada sistema es

El resultado de cualquier medida individual que realice debe terminar siendo uno de los valores propios del operador que representa la medida.

Por ejemplo, si mide la posición, puede encontrar el valor$x_0$, que es un valor propio de$\hat X$. Y luego, en este caso, el estado del sistema después de la medición es

El caso del operador de posición es en realidad un poco más complicado que el caso del giro 1/2 (debido a la dimensionalidad y la no normalización).

Para el caso de giro

Para obtener más información, consulte un libro de Mecánica Cuántica acreditado que cubre los conceptos básicos. Por ejemplo, "Mecánica cuántica" de Cohen-Tannoudji et al. o "Mecánica Cuántica" de Messiah.

Para tus primeras preguntas:

Los observables corresponden a operadores hermitianos (o autoadjuntos).

Como tales, los valores propios son reales y estos valores son los resultados posibles.

También debido a la hermética/autoadjunción del operador, cuando tienes autovectores con diferentes autovalores, los autovectores son ortogonales.

Así que conoces los valores, pero ¿qué sucede? La historia más corta es que una medida proyecta el vector en un espacio propio, y obtienes el valor propio correspondiente a ese espacio propio, y la frecuencia relativa de obtener resultados diferentes es la longitud cuadrada relativa de las proyecciones del vector original en los espacios propios ortogonales. Y cualquier libro te dirá esto. Para visualizar esto, puede imaginar proyectar en un espacio propio y luego volver a escalar para que tenga una unidad de longitud nuevamente (por lo que esto no es una rotación). E imagina que cuando haces esto obtienes el valor propio (de alguna manera) como resultado, y luego puedes imaginar que sucede de manera probabilística de alguna manera con una frecuencia igual a la proporción de la longitud al cuadrado de la post-proyección sobre la pre-proyección al cuadrado. longitud.

Pero querías más. ¿Cómo se relaciona la medición con la evolución unitaria? Dos partes siguen siendo las mismas cuando miras el proceso de manera realista. Primero, los resultados finales son de hecho ortogonales. En segundo lugar, la frecuencia observada experimentalmente es igual a lo que habría sido la longitud al cuadrado posterior a la proyección sobre la longitud al cuadrado previa a la proyección si hubiera habido una proyección. Así que ahora veamos lo que sucede.

Lo que sucede es que el sistema evoluciona según la ecuación de Schrödinger. Y llamamos a algo una medida cuando evoluciona hacia una suma de estados ortogonales, que siempre y para siempre permanecerán ortogonales. Una forma común de lograr la ortogonalidad es no tener superposición espacial, por ejemplo, un dispositivo Stern-Gerlach puede desviar el haz único en dos haces que no se superponen. Las funciones de onda están en el espacio de configuración, y el espacio de configuración es asombrosamente vasto, por lo que una vez que esos haces comienzan a interactuar con un gran número de partículas diferentes para hacer que se muevan de manera diferente, es increíblemente improbable que los paquetes de ondas vuelvan a superponerse. Este es un requisito previo para llamar a una evolución una medida.

La otra cosa que necesita es que esos paquetes de ondas sean (en algún momento después de que se vuelvan ortogonales para siempre) vectores propios de lo observable. Entonces, por ejemplo, en el stern-gerlach, el (bi) vector de giro para los dos haces que no se superponen espacialmente debe polarizarse, todos giran hacia arriba en un haz y todos giran hacia abajo en el otro haz. ¿Como sucedió esto? Bueno, el hamiltoniano para un campo magnético no homogéneo hace esto de forma natural, un ejemplo está disponible en [ http://dx.doi.org/10.1119/1.4848217 ] (este buen artículo en el American Journal of Physics), [ http:// arxiv.org/abs/1305.1280](arxivversión). Si no desea leer el artículo, el remate es que el haz único se bifurca, y un volumen va en una dirección y otro volumen va en la otra dirección, y el volumen relativo depende de cuánto tenía el estado original de arriba y abajo. hacia abajo, y todo el volumen que va en una dirección tiene el espín polarizado en una dirección y cada parte del volumen que va en la otra dirección tiene el espín polarizado en la otra dirección. Literalmente, así es como se obtiene la repetibilidad de medidas idénticas y las fracciones relativas. Todo a partir de la ecuación de Schrödinger.

Así es como sucede una medición, y esto también permite mediciones débiles, que a menudo son lo que realmente sucede y, a veces, es lo que se desea. Además, es lo que describen las ecuaciones de evolución reales. Y es lo que observa el laboratorio, y requiere que usted realmente interactúe con el sistema para realizar una medición en lugar de agitar las manos y esperar que se realice una medición.

Pero ¿qué pasa con las probabilidades? Cuando los haces se desviaron y polarizaron, la norma cuadrática de cada onda desviada es igual a lo que habría sido la longitud cuadrada posterior a la proyección sobre la longitud cuadrada previa a la proyección si hubiera habido una proyección. Así que esa parte, nuevamente, ya se ocupa de la ecuación de Schrödinger.

Pero dado que todos los haces existen de acuerdo con la ecuación de Schrödinger, podría parecer que no se ha realizado una medición. Después de todo, parte del rayo se fue a la izquierda y parte a la derecha. Pero no solo las vigas son ortogonales, deben permanecer siempre y para siempre ortogonales, lo que en realidad requiere que cada una actúe ahora como si la otra no existiera. Cada onda está en el espacio de configuración, el espacio de configuración de cada partícula en todo el universo, por lo que el universo ahora tiene dos partes, cada una de las cuales actúa como si fuera por sí misma, es exactamente ese sentido en el que la medición ha "sucedido". "con diferentes resultados. Ahora hay partes de la función de onda que actúan de forma independiente. Y no se hace daño si las personas en cada parte (cuyas partículas son parte del espacio de configuración) deciden actuar como si las otras partes no importaran. Entonces, en cualquier momento, pueden descreer de la existencia de las otras partes, y no contradirá nada sobre la evolución de su parte de la ola.

Esta es exactamente la razón por la que describí las proporciones de post-proyección y pre-proyección. Si desea cambiar la escala de su parte porque nunca se verá influenciada por las otras partes, no cambia nada. La norma general no afecta nada, solo importan las magnitudes relativas, e incluso entonces solo afecta las matemáticas si las ondas no son ortogonales. Entonces, en algún momento puede cambiar la escala (o no), y en algún momento puede actuar como si hubiera ocurrido una medición (siempre que ahora sean ortogonales, permanecerán ortogonales para siempre y estuvieron en un momento en espacios propios separados).