Por lo general, el espacio de fase de un sistema físico se define como el paquete cotangente del espacio de configuración en algún intervalo de tiempo fijo , convenientemente coordinado por dónde
Este las coordenadas (llamadas momentos canónicos) son convenientes, porque la estructura simpléctica en el espacio de fase es de forma muy simple:
Un momento de reflexión te convencerá de que el espacio de fase no es más que el espacio de soluciones de las ecuaciones de movimiento , junto con una topología adecuada que lo convierte en una variedad diferencial.
Esta segunda definición parece mucho más natural y de mayor alcance que la primera: tiene sentido incluso en casos exóticos, por ejemplo, con hessiano degenerado, con tiempo discreto, con no determinismo de las ecuaciones de movimiento, etc. Además, esta definición no no destacar un valor específico del parámetro de tiempo , independizándose así de en el manifiesto del formalismo canónico. De hecho, iría más allá y diría que esta segunda definición no hace ninguna suposición sobre la existencia del tiempo.
Me gustaría entender cómo definir la estructura simpléctica (el corchete de Poisson) para esta segunda definición del espacio de fase, y hasta qué punto es posible.
Espero que esta estructura sea generada por la acción funcional.
Sin embargo, no sé cómo escribir la definición general del corchete de Poisson entre dos funciones del espacio de fase, definido por el funcional de acción.
Esta es exactamente la esencia del enfoque del "espacio de fase covariante", desarrollado por Ashtekar, Wald, Witten, etc. Véase, por ejemplo, Lee & Wald (1990) . Se puede aplicar a las teorías de partículas o campos y, en particular, a las teorías de calibre. La construcción es brevemente como sigue:
1- Considere el espacio de solución definido como la colección de soluciones a su teoría dada con Lagrangian y limitado posiblemente por algunas condiciones de contorno.
2- La variación de da las ecuaciones de movimiento y un término derivado total
3- Un vector tangente en un punto está representado por una perturbación de campo que resuelve las ecuaciones de campo linealizadas. También se puede definir una forma diferencial como la derivada exterior de .
4- Construir la estructura canónica sobre , tome una superficie de Cauchy arbitraria en el espacio-tiempo y definir la forma (pre)simpléctica de la siguiente manera
5- El formalismo es covariante ya que no se requiere descomposición explícita en campos y la elección de es arbitrario la independencia de de es resultado del hecho de que utilizando las ecuaciones de movimiento. El par se llama espacio de fase covariante .
6- El análisis de las simetrías (asintóticas) y las leyes de conservación son muy sencillos en este formalismo. Para construir el generador de una transformación de simetría , simplemente toma
El corchete de Poisson covariante buscado para las teorías lagrangianas se conoce como corchete de Peierls.
Ok, investigué un poco y esto es lo que encontré (basado en la respuesta de Qmechanic, pero un poco más general).
Defina el espacio de fase fuera de la carcasa para que sea simplemente el espacio de todas las configuraciones de campo, que no necesariamente satisface las ecuaciones de movimiento. Los observables clásicos fuera del caparazón son, por analogía, funciones sobre el espacio de fase fuera del caparazón. Definimos el corchete de Peierls entre dos de tales funcionales como
dónde es el propagador de Feynman (retrasado menos avanzado). El punto crucial que no entendí antes es que es en realidad un funcional, que depende de . Y no describe la propagación de todo el campo. , solo una propagación lineal de su fluctuación infinitesimal. Por lo tanto, la dependencia altamente no trivial de está codificado en el corchete de Peierls.
Aunque todavía no entiendo una cosa. La estructura resultante del espacio de fase fuera de la carcasa con el soporte de Peierls no es equivalente al espacio de fase habitual (y, de hecho, es infinitamente más grande). ¿Cómo retiro esta álgebra en el espacio de fase?
Profesor Legolasov