Simulación de red cuántica de osciladores armónicos

Question

Simulación de red cuántica de osciladores armónicos

justin salomon

Digamos que tengo un sistema de $n$ partículas $p_1,\ldots,p_n\in\mathbb{R}^3$ (dónde $n$ aquí es del orden de 10.000). Además, supongamos que tenemos un gráfico $G=(V,E)$ describiendo alguna red, donde el conjunto de vértices $V$ es el conjunto de partículas y el conjunto de aristas $E$ satisface $|E|\ll n^2$ . Cada borde en $G$ representará un resorte entre el correspondiente par de partículas manteniéndolas unidas. También le daré a cada partícula $p_i$ su propio potencial escalar $V_i$ .

La función de onda de este sistema será de una dimensión muy grande: $\Psi(x_1,\ldots,x_n;t)$ . Podemos escribir el hamiltoniano como

H = \sum_{i = 1}^{norte} (- \frac{h^{2}}{2 metro} \nabla_{i}^{2} + V_{i} (X_{i})) + \sum_{({pag}_{i}, {pag}_{j}) \in mi} C ‖ X_{i} - X_{j} ‖^{2}

$H=\sum_{i=1}^n\left(-\frac{h^2}{2m} \nabla_i^2+V_i(x_i)\right)+\sum_{(p_i,p_j)\in E} c\|x_i-x_j\|^2$

Obviamente, no puedo avanzar en el tiempo la ecuación de Schrödinger para este enorme sistema utilizando ningún método estándar de simulación discreta, ni siquiera puedo escribir una versión discretizada de $\Psi$ por su gran dimensionalidad.

¿Existen técnicas para calcular estados aproximados de baja energía de este sistema? ¿Qué aproximaciones son razonables aquí? ¿Se pueden encontrar las posiciones probables de cada partícula? $p_i$ ?

Motl de Luboš

depende de que

V_{i}

$V_i$ es. Si

V_{i} = 0

$V_i=0$ o función bilineal de

x

$x$ , entonces el sistema tiene solución: es solo otro oscilador armónico multidimensional. Por otro

V

$V$ , desea encontrar una buena aproximación cero y resolverla mediante la teoría de perturbaciones.

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Simulación de red cuántica de osciladores armónicos

depende de que $V_i$ es. Si $V_i=0$ o función bilineal de $x$ , entonces el sistema tiene solución: es solo otro oscilador armónico multidimensional. Por otro $V$ , desea encontrar una buena aproximación cero y resolverla mediante la teoría de perturbaciones.

Ron Maimón · Answer 1

La forma en que lo escribió probablemente no sea lo que pretendía escribir --- probablemente quiera $||x_i - x_j - C_{ij}||^2$ en lugar de $||x_i-x_j||^2$ , de modo que los resortes tengan una longitud estacionaria distinta de cero, de modo que las masas tengan forma en ausencia de fuerzas externas. Si no hace esto, la solución clásica de mínima energía es que todas las partículas están exactamente una encima de la otra.

Pero lo resolveré como lo escribiste (no es mucho más difícil de la otra manera, pero es más molesto averiguar la configuración estacionaria). En este caso, escribes el término de primavera como

\sum A_{i j} X_{i} X_{j}

$\sum A_{ij} x_i x_j$

y diagonalizas A por una rotación (esto es posible ya que A es simétrico).

y_{i} = R_{i j} X_{j}

$y_i = R_{ij} x_j$

Donde la suma de j es implícita y R es una matriz de rotación. Puede calcular R usando cualquier algoritmo de diagonalización, todos son fáciles en el caso simétrico. Entonces, en términos de y, tienes osciladores desacoplados

\sum λ_{i} y_{i}^{2}

$\sum \lambda_i y_i^2$

Donde el $\lambda_i$ son los valores propios de A, y cada uno es un oscilador armónico normal que se resuelve de forma independiente. Para encontrar los valores esperados de las x, escribe las x en términos de las y.

Cuando tiene una simetría, como un retículo abstracto de x donde solo hay un número finito de clases de puntos que no están relacionados entre sí por la simetría del retículo, puede escribir la solución explícita incluso para un retículo infinito, utilizando la teoría de Fourier. Este es el punto de partida de la teoría cuántica de campos.

Al final, en realidad haré este cálculo en una variedad en lugar de $\mathbb{R}^n$ , por lo que los resortes de longitud cero están bien. Pero tales factorizaciones no serán posibles. ¿Hay trucos más genéricos?
@JustinSolomon: ¿Está restringiendo las x para que se encuentren en una variedad? Este es un problema completamente diferente. Si tiene restricciones, los términos cinéticos se vuelven no lineales, y entonces la linealidad de los resortes no es nada complicada, es la otra no linealidad en el término cinético.
Ah, sí, los estoy restringiendo para que estén en un múltiple. Como estoy haciendo una simulación, la variedad es una superficie triangulada y puedo escribir su operador laplaciano si es útil.
No creo que esto sea lo que quieres decir, una superficie triangulada. Esta no es la forma correcta de hacer la restricción, debe encontrar una aproximación polinomial a la función de restricción --- las superficies trianguladas generalmente no son buenas para aplicar las leyes de Newton.
Desafortunadamente, ¡esta es nuestra configuración para bien o para mal!
@JustinSolomon: ¿Puede hacer la pregunta usando su configuración? Entonces, el principal problema al hacer las leyes de Newton en un complejo simplicial es que el complejo no es una variedad diferenciable ya en las intersecciones de las intersecciones de los simples, donde hay infinito curvatura. Su pregunta principal debería ser "¿cómo se aplican las leyes de Newon en una variedad triangulada de tal manera que reproduzca las leyes de Newton sin problemas?" El problema que planteas en tu pregunta es trivial. Por favor, haz otra pregunta, porque hay poca relación entre lo que pides y lo que quieres.

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justin salomon

Motl de Luboš

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