¿Qué sucede si uno acopla dos osciladores armónicos térmicos a diferentes temperaturas?

Considere dos osciladores armónicos inicialmente desacoplados idénticos con hamiltonianos

H ^ = pag 1 2 2 metro + + metro ω 2 X 1 2 2 ,

H ^ 2 = pag 2 2 2 metro + metro ω 2 X 2 2 2 .

El hamiltoniano del sistema completo es entonces:

H ^ = H 1 + H 2

Cada oscilador comienza en un estado térmico.

ρ 1 = mi − β 1 H 1 ,
ρ 2 = mi − β 2 H 2 .
el estado completo ρ = ρ 1 ⊗ ρ 2 es estacionario con respecto a la evolución generada por H .

Después de un tiempo, cambiamos una interacción, de modo que el hamiltoniano completo del sistema viene dado por

H I = H 1 + H 2 + λ 2 X 1 X 2 .

La pregunta es: ¿Qué pasará con el estado ρ ? No creo que se termalice a una temperatura β porque eso violaría la conservación de la energía o la entropía. Sin embargo, hay diferentes opciones para lo que podría pasarle al estado, tales como:

  1. Cada uno de los osciladores termina en un estado térmico después de rastrear al otro, pero es un estado altamente entrelazado.

  2. El estado del sistema mantiene temperaturas oscilantes, sin tender a ningún estado final.

¿Cuál de estos es más preciso? ¿O hay otra posibilidad en la que no he pensado?

"porque eso violaría la conservación de la energía o la entropía" ¿por qué exactamente piensas esto? ¿A qué te refieres con conservación de la entropía? ¿Alguno de estos sistemas o ambos están acoplados a algo externo, como un baño de calor? ¿Hay alguna disipación en el sistema?
¿Por qué crees ρ no se termalizaría? Solo tengo curiosidad por saber si podría dar más detalles sobre eso (cómo violaría la conservación de la energía o la entropía). Podemos calcular el C v para cada uno de los QHO a sus respectivas temperaturas. Y luego calcule el calor intercambiado. C v ( T − T ′ ) , (sumarlos e igualarlos a 0 y encontrar la temperatura final T ′ ??
Lo que quiero decir con conservación de la entropía: Este es un sistema aislado, y la evolución temporal es unitaria. Los procesos unitarios conservan la entropía.

Respuestas (1)

La energía fluirá espontáneamente del sistema más caliente al sistema más frío, hasta que todo el sistema combinado alcance el equilibrio a una nueva temperatura. La energía total del sistema se conservará. La entropía aumentará.

La entropía es constante para los procesos adiabáticos en la mecánica cuántica. Como se discutió en wikipedia , una condición necesaria para la adiabaticidad es que el hamiltoniano debe conmutar consigo mismo en diferentes momentos, [ H ( t ) , H ( t ′ ) ] = 0 para todos t , t ′ .

Podemos verificar que esta condición se viole para su caso. Dejar t ser un tiempo en que λ = 0 , y deja t ′ ser un tiempo en que λ ≠ 0 . Entonces (configuración ℏ = 1 entonces [ X , pag ] = i )

[ H ( t ) , H ( t ′ ) ] = [ H 1 + H 2 , H 1 + H 2 + λ X 1 X 2 ] = λ ( [ H 1 , X 1 ] X 2 + X 1 [ H 2 , X 2 ] ) = − i λ metro ( pag 1 X 2 + X 1 pag 2 )
Por lo tanto, no hay razón para esperar que la entropía permanezca constante en este escenario, a menos que la forma en que se activa la interacción se realice con mucho cuidado ( https://arxiv.org/abs/0910.0709 ).

Una sutileza importante mencionada en la página de wikipedia es que existe una distinción entre la "entropía de energía" y la "entropía de von Neumann". La entropía de von Neumann se conserva bajo evolución temporal unitaria, pero la entropía de energía no, y esta última es análoga a la entropía termodinámica fuera del equilibrio (en equilibrio estas dos definiciones de entropía concuerdan). Esto se desarrolla con más detalle en este documento: https://arxiv.org/abs/0806.2862 . La Sección III.A describe un ejemplo que es conceptualmente muy similar al suyo, pero aún más simple: un gas está confinado a un lado de una caja por un divisor, que luego se retira.

¿Cómo puede aumentar la entropía si la evolución del tiempo es un proceso unitario?
@Rick, agregué un poco más a la respuesta. Tenga en cuenta que el argumento implícito en su pregunta de que la entropía siempre debe conservarse en la mecánica cuántica implicaría una contradicción entre la mecánica cuántica y la termodinámica.
También tenga en cuenta que asumo que aquí estamos discutiendo la "entropía energética" (ver en.wikipedia.org/wiki/Quantum_thermodynamics#Entropy ), que es la cantidad más relevante para la termodinámica. Esto es solo igual a la entropía de von Neumann en equilibrio.
Puede recuperar las nociones de la termodinámica clásica una vez que considere un sistema externo y rastree sus grados de libertad. Esto da como resultado una evolución temporal no unitaria en el subsistema que produce mezcla. También puede crear dependencias de tiempo en el hamiltoniano efectivo para subsistemas, que sería el caso que maneja en su respuesta.
Con respecto a su prueba de que el hamiltoniano no conmuta consigo mismo en diferentes momentos, el hamiltoniano inicial del sistema es completamente irrelevante en este caso. Podría simplemente iniciar el sistema que tiene un hamiltoniano dado por H 1 + H 2 + λ 2 X 1 X 2 en todo momento. La razón por la que hablé del hamiltoniano inicial fue para dar una interpretación física de los estados ρ 1 y ρ 2 . Esto invalida la "conservación sin entropía" que presentó.
@Rick Supongo que no puedo ayudarte, lo siento. Creo que debe faltar una pieza en la forma en que describe su ejemplo, debe haber algún rastreo sobre un baño de calor o algo que explique el cambio en la entropía. Pero desde el punto de vista de la termodinámica (que respeta la mecánica cuántica), está bastante claro que la entropía tiene que aumentar a medida que la energía fluye del sistema caliente al sistema frío en forma de calor.
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