Phonon como transformada de Fourier

A continuación, usaré la cadena atómica 1D como una ilustración canónica (la generalización 3D no tiene sentido para la discusión).

1. ¿Por qué los fonones tienen las energías del oscilador armónico?$E=\hbar\omega(n+1/2)$?

Los átomos en un cristal interactúan entre sí a través de un potencial de enlace dado$U(x)$que cuenta con un mínimo. Tal mínimo establece la posición de cada átomo a temperatura cero de modo que forma una red donde los átomos están igualmente espaciados por una distancia$a$. Si está interesado en las propiedades de baja energía de dicho sistema, cada potencial individual$U$se puede expandir en forma cuadrática alrededor de su mínimo:

$$U(x)\sim \frac{\kappa}{2}x^2,\quad\text{with}\;\kappa>0$$ Dejar $\{x_j(t),\dot{x}_j(t)\}$ser la posición y la velocidad del $j$el átomo. Luego, el lagrangiano de baja energía que describe el sistema de $N$átomos interactuando con sus vecinos más cercanos dice: $$L=\sum_{j=1}^N \frac{m}{2}\dot{x}_j^2-\frac{\kappa}{2}(x_{j+1}-(x_j+a))^2$$ Definición $\phi_j$como el desplazamiento atómico lejos de la posición de equilibrio tal que $x_j(t)=\phi_j(t)+ja$, el lagrangiano se lee ahora: $$L=\sum_{j=1}^N \frac{m}{2}\dot{\phi}_j^2-\frac{\kappa}{2}(\phi_{j+1}-\phi_j)^2$$ En el límite continuo donde $|\phi_{j+1}-\phi_j|\ll a$, es apropiado definir un campo atómico clásico $\phi(x,t)$tal que: $$L=\int_0^L\mathrm{d}x\;\mathcal{L}(\phi,\partial_x\phi,\dot{\phi})=\int_0^L\mathrm{d}x\;\frac{m}{2}\dot{\phi}^2-\frac{\kappa a^2}{2}(\partial_x\phi)^2$$ dónde $L=Na$es la longitud de la cadena y $\mathcal{L}$la densidad lagrangiana. En este punto, puede ser interesante notar que la ecuación de movimiento de Langrange $\partial_\phi\mathcal{L}-\partial_x(\partial_{\partial_x\phi}\mathcal{L})-\partial_t(\partial_{\dot{\phi}}\mathcal{L})=0$te da una ecuación de onda: $$(m\partial_t^2-\kappa a^2\partial_x^2)\phi(x,t)=0$$ lo que significa que sabemos que la solución de la ecuación de movimiento de la cadena atómica 1D son las ondas sonoras , es decir, las excitaciones colectivas clásicas del movimiento de los átomos con la relación de dispersión $\omega_k=\sqrt{\frac{a^2\kappa}{m}}k$.

Mediante la transformada de Lengendre, de forma análoga a la mecánica puntual clásica, podemos calcular el hamiltoniano asociado$H$:

$$H=\int_0^L\mathrm{d}x\;\mathcal{H}(\phi,\partial_x\phi,\pi)=\int_0^L\mathrm{d}x\;\frac{\pi^2}{2m}-\frac{\kappa a^2}{2}(\partial_x\phi)^2$$ dónde $\pi=\partial\mathcal{L}/{\partial\dot{\phi}}$es el momento canónico asociado a $\phi$, y $\mathcal{H}$es la densidad hamiltoniana.

A partir de ahora, todo el trabajo se ha realizado en el marco de la mecánica clásica. Entrar en la versión cuántica de la cadena atómica 1D se puede realizar mediante un procedimiento de cuantificación del hamiltoniano clásico.$H$. Consiste en reemplazar las coordenadas conjugadas del campo clásico$\{\phi(x),\pi(x')\}=\delta(x-x')$por coordenadas conjugadas cuánticas, dichos operadores no conmutantes $\left[\hat{\phi}(x),\hat{\pi}(x')\right]=\mathrm{i}\hbar\,\delta(x-x')$.

Entonces, la densidad hamiltoniana que describe la cadena atómica cuántica 1D dice:

$$\mathcal{H}=\frac{\hat{\pi}^2}{2m}-\frac{\kappa a^2}{2}(\partial_x\hat{\phi})^2$$ Casi terminamos ; en este punto podemos tomar los cálculos en el espacio de Fourier para los operadores, usando la notación $\hat{A}=\frac{1}{\sqrt{L}}\sum_k \hat{A}_k e^{\mathrm{i}kx}$: $$\mathcal{H}=\sum_k \frac{1}{2m}\hat{\pi}_k\hat{\pi}_{-k}+\frac{m\omega_k^2}{2}\hat{\phi}_k\hat{\phi}_{-k}$$ dónde $\omega_k^2=\frac{a^2k^2\kappa}{m}$.

La densidad hamiltoniana es casi idéntica a la habitual del oscilador armónico cuántico . Por eso, sin pérdida de generalidad, se pueden definir los operadores de creación/aniquilación asociados$\hat{a}^\dagger_k$y$\hat{a}_k$y encontrar que:

$$\mathcal{H}=\sum_k \hbar\omega_k\left(\hat{a}^\dagger_k\hat{a}_k+\frac{1}{2}\right)$$ Lo que obtenemos aquí es que el hamiltoniano de una cadena atómica cuántica 1D describe el sistema como una superposición de osciladores armónicos independientes. Lo que llamamos fonón es la excitación colectiva cuántica que explica el comportamiento de baja energía de la cadena cuántica 1D (de la misma manera que las ondas de sonido explican la dinámica de baja energía del sistema clásico). Lo único que identifica a un fonón como una "partícula" es su energía, o más bien su relación de dispersión. $\hbar\omega_k$. Determinar cuanta energía hay en el sistema es así equivalente a contar cuantos modos de fonones $\omega_k$se rellenan a través de los operadores de conteo $\hat{a}^\dagger_k\hat{a}_k$. Es importante tener en cuenta que los fonones no tienen una existencia objetiva real, solo son herramientas convenientes para que entendamos cómo funciona la cadena atómica cuántica 1D.

2. ¿Por qué los factores de Boltzmann se aplican a los fonones, como si fueran partículas?

La distribución de Boltzmann solo se aplica a fonones "a alta temperatura". Como puede haber cualquier número$n_k$de fonones que pueblan un estado de energía$\omega_k$, sugiere que los fonones tienen una naturaleza bosónica , por lo que su distribución de energía en el equilibrio térmico es en realidad una distribución de Bose-Einstein $f_B(\omega_k)$. Sin embargo, puedes ver que en el límite$\omega_k\ll k_BT$,$f_B(\omega_k)\sim\exp(-\hbar\omega_k/k_BT)$.

3. ¿Se puede conceptualizar el tratamiento en sí mismo como una especie de transformada de Fourier del movimiento de los átomos?

Como se vio anteriormente, el hamiltoniano de la cadena cuántica 1D se identifica como una superposición de osciladores armónicos independientes . Es muy importante aquí no confundir el movimiento de los átomos individuales que es oscilatorio (pero acoplado a sus vecinos a través de$U$) con el movimiento colectivo de los átomos, que también es oscilatorio donde estos modos$\omega_k$no están acoplados entre sí. En realidad, desde el momento en que tomamos el límite$|\phi_{j+1}-\phi_j|\ll a$admitimos que el movimiento individual de cada movimiento no era relevante y era más conveniente entender el movimiento atómico como campo colectivo$\phi$.