Difusión de amplitudes de probabilidad

Digamos que tengo una amplitud de probabilidad ψ : Σ → C para algún dominio Σ (entonces, ψ satisface ∫ Σ | ψ | 2 = 1 ). ¿Hay alguna manera de usar ψ como condiciones iniciales para la difusión de valores de probabilidad?

En particular, ¿existe una PDE para calcular una función? ψ t con ψ 0 ≡ ψ tal que la distribución de probabilidad inducida ρ t = | ψ t | 2 : Σ → R + satisface la ecuación del calor Δ Σ ρ = ∂ ρ t ∂ t para laplaciano Δ Σ (o cualquier otra ecuación difusiva)?

Este documento parece pensar que podría ser una pregunta matemática abierta, al menos para el "modelo de Anderson" de difusión (ver, por ejemplo, la conjetura (iii) en la página 30), pero no estoy seguro si lo estoy leyendo correctamente. Mi esperanza era que fuera tan fácil como usar el operador de Dirac D ya que parece la "raíz cuadrada" del laplaciano de la manera correcta, ¡pero aparentemente las cosas no son tan fáciles!

[Este sitio web ha sido increíblemente útil para orientarme en esta área de la física a pesar de mi total falta de experiencia. ¡Me disculpo sinceramente por publicar tantas preguntas y realmente aprecio el apoyo de todos!]

¿Qué estás tomando exactamente? Σ ¿ser? y relacionado, ¿qué quieres decir con Δ Σ ?
en realidad estaré tomando Σ ser una superficie (considere una esfera, y escribir ψ en base a armónicos esféricos). Pero como chico de matemáticas, puedo traducirlo a este caso: un ejemplo con Σ ⊆ R norte esta perfectamente bien Estoy usando Δ Σ para denotar el laplaciano asociado con el dominio Σ -- por ejemplo en R norte sería Δ = ∑ i ∂ 2 ∂ X i 2 .

Respuestas (2)

Esta no es una respuesta a su pregunta, sino un primo cercano, tal vez lo encuentre de interés. La ecuación de Schrödinger se puede continuar analíticamente para dar la ecuación de difusión de calor.

t->-i*t

Google puede indicarle más elaboraciones y referencias.

Sí, esta propiedad es de interés, aunque espero encontrar algo más cercano a la difusión de valores de probabilidad.

Buena pregunta. Parece que está preguntando sobre la cuestión básica de cómo cambian las amplitudes de probabilidad con el tiempo, es decir, cuál es la mecánica de las probabilidades en la mecánica cuántica. Como saben, la ecuación de Schrödinger se basa en las amplitudes y, al final, nos ocupamos de las probabilidades pag = | ψ | 2 . Hacemos el trabajo sobre las amplitudes y luego calculamos las probabilidades. Usted ha preguntado si podemos hacer el trabajo sobre las probabilidades. De hecho, la ecuación que escribiste es la de Schrödinger sin potencial y excepto en las probabilidades, no en la función de onda. ¿Qué tal si usas el Schrödinger y las amplitudes? Después de todo, obtienes probabilidades al final de todos modos.

Otra cosa que podría mencionar es sobre la mecánica de Liouville. Eso es definitivamente una mecánica de puras probabilidades. Aquí hay un fragmento de Wikipedia:

 the density of system points in the vicinity of a given system point travelling through phase-space is constant with time.

Esto podría sugerir que las probabilidades no se difunden.

Además, eche un vistazo a la forma hamiltoniana de la ecuación de Liouville:

∂ ρ ∂ t = { ρ , H } .

Ahora bien, esto realmente comienza a parecerse a una buena mecánica de densidades de probabilidad.

Gracias, echaré un vistazo a la mecánica de Liouville. En mi aplicación, en realidad estoy trabajando con objetos que parecen amplitudes de probabilidad ψ , así que espero encontrar análogos de QM que puedan ayudarme. En particular, espero que, en lugar de pasarme a hacer todos mis cálculos en ρ para poder hacer matemáticas en ψ de una manera que tenga el efecto deseado (en este caso, difusión) en ρ . ¿Esto tiene sentido?
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