Sistemas independientes y Lagrangianos

¿Qué hay de las integrales de trayectoria? La probabilidad de que un sistema evolucione entre estados$|\phi_1\rangle$y$|\phi_2\rangle$es

$$\langle \phi_2|\phi_1 \rangle =\int_{\phi_1}^{\phi_2}\mathcal{D}\phi \exp \left(\frac{i}{\hbar}S(\phi)\right)$$

donde la medida$\mathcal{D}\phi$está adecuadamente definida y la acción$S(\phi)$es la integral del Lagrangiano (cualquiera que sean las coordenadas físicas).

Considere dos sistemas, descritos por estados$|\phi\rangle$y$|\psi\rangle$, que son independientes. Entonces la acción es

$$S(\phi,\psi)=S(\phi)+S(\psi)$$

Y la probabilidad de evolucionar entre dos configuraciones es

$$\begin{align} \langle\phi_2,\psi_2|\phi_1,\psi_1\rangle&=\int_{(\phi_1,\psi_1)}^{(\phi_2,\psi_2)}\mathcal{D}\phi\mathcal{D}\psi \exp \left(\frac{i}{\hbar}(S(\phi)+S(\psi))\right)\\ &=\int_{\phi_1}^{\phi_2}\mathcal{D}\phi \exp \left(\frac{i}{\hbar}S(\phi)\right)\int_{\psi_1}^{\psi_2}\mathcal{D}\psi \exp \left(\frac{i}{\hbar}S(\psi)\right)\\ &=\langle \phi_2|\phi_1\rangle \langle \psi_2|\psi_2\rangle\\ \end{align}$$

Entonces la probabilidad es un producto si los sistemas son independientes. Elegí estados específicos aquí, pero tomo$|\phi_i\rangle$describiendo un sistema$S_i$en configuración$C_{i1}$y creo que esto consigue lo que quieres.

Bueno, no estás especificando el tipo de probabilidades de las que estás hablando. Por lo tanto, me refiero a las etiquetas y asumo que estamos hablando de probabilidades cuánticas (no estadísticas). (Ver la edición al final)

Entonces, debo señalar que su definición probabilística de independencia no tiene mucho sentido.

Editar

Bueno, según los comentarios, debo decir que mi punto es que estas definiciones son diferentes en su significado. El primero es la independencia estadística (y debe ser refinado para el caso de QM) y el segundo es la ausencia de interacción. Lo siguiente debe entenderse como una referencia al entrelazamiento cuántico como un hecho de que los sistemas que no interactúan pueden correlacionarse.

fin de edición

En primer lugar, solemos creer que si tenemos los espacios de Hilbert$\mathcal{H}_1$y$\mathcal{H}_2$de dos sistemas, entonces el espacio de Hilbert para el sistema compuesto es$\mathcal{H}=\mathcal{H}_1\otimes\mathcal{H}_2$. Esto es independiente de la interacción entre los sistemas.

A continuación, cuando hablamos de la probabilidad de encontrar el sistema en el estado$|a\rangle$mientras está en estado$|b\rangle$(todo normalizado) por lo general queremos decir$|\langle a|b \rangle|^2$. Ahora, considere el siguiente estado en$\mathcal{H}$:

$$|a\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle\otimes|\alpha\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}|2\rangle\otimes|\beta\rangle$$ Hay $0$probabilidad de encontrar tal sistema en el estado $|1\rangle\otimes|\beta\rangle$mientras haya $0.5$probabilidad de encontrar el primer sistema en estado $|1\rangle$y $0.5$probabilidad de encontrar el segundo sistema en el estado $|\beta\rangle$. Y tal estado existe independientemente de las interacciones entre los sistemas. Ver entrelazamiento cuántico .

Además, podemos considerar el estado

$$|a\rangle=|1\rangle\otimes|\alpha\rangle$$ para lo que su regla más o menos funciona.

Finalmente, vemos que hay estados de sistemas que no interactúan en los que su igualdad probabilística no se cumple, así como también hay estados de sistemas que interactúan en los que su igualdad se cumple. Entonces, no hay conexión entre esta igualdad y la independencia de los sistemas.

¿Qué es cierto, sin embargo, que las amplitudes de transición (es decir, elementos de la matriz de$\exp(-iHt/\hbar)$) son de hecho multiplicativos para sistemas independientes. Eso es porque

$$\exp(-iHt)=\exp(-it(H_1\otimes 1+1\otimes H_2))=\exp(-it H_1\otimes 1)\exp(-it1\otimes H_2)\\ =\exp(-iH_1t)\otimes\exp(-iH_2t)$$ actúa sobre los componentes del producto tensorial de forma independiente (consulte también la respuesta de Levitopher para la perspectiva de la integral de trayectoria).

¿Qué hay de lo contrario? No podemos decir que cualquier elemento de la matriz para el sistema completo sea el producto de los elementos de la matriz para los sistemas separados porque a priori no tenemos estos últimos. Tenemos que decir algo diferente, pero ahora no estoy seguro de cómo expresarlo convenientemente.

Editar Las etiquetas han cambiado un poco, pero aún podemos construir matrices de densidad (y fingir que corresponden a algunas situaciones de no equilibrio) con propiedades similares. Creo que la matriz de densidad de estado puro está bien.

Para matrices de densidad de equilibrio, a saber$\rho=\exp(-\beta H)$es cierto que las probabilidades se multiplican para sistemas independientes por el mismo argumento que para el operador de evolución. Lo mismo se puede hacer a través de integrales de trayectoria euclidiana.

En cuanto a lo contrario, no sé la respuesta en este momento.