Paradoja aparente en mecánica estadística

Lo primero que hay que entender es la idea de un conjunto estadístico . Lo que uno hace es reemplazar un sistema físico real, digamos, una caja de gas sobre una mesa, con un conjunto imaginario que consta de un gran número (o formalmente infinito) de copias del sistema, cada una en un posible microestado diferente, y una medida de probabilidad que asigna a cada microestado (o en el caso infinito, cada conjunto medible de microestados) una probabilidad de estar ocupado por el sistema real que se está modelando. A partir de ahí, cuando hablamos de las propiedades estadísticas de nuestro sistema, en realidad estamos hablando de las propiedades estadísticas del conjunto .

Por ejemplo, en el caso del gas en la caja se podría preguntar por la probabilidad$P$que >51% de las partículas de gas están en la mitad izquierda de la caja. Para calcular esto, primero asignaríamos a cada microestado$\mu$una probabilidad$p_\mu$de estar ocupado; a partir de ahí, tomaríamos la suma de todos los$p_\mu$'s correspondientes a microestados que satisfacen la condición >51%. Si, por ejemplo, todos los microestados son igualmente probables, entonces$P$es solo el número de microestados que satisfacen la condición >51 % dividido por el número total de microestados.

Cuando volvemos nuestra atención a la caja de gas en la mesa frente a nosotros, podríamos interpretar esto$P$de dos maneras diferentes:

1. Nos dice que si medimos la caja$N$veces, debemos esperar que satisfaga la condición >51%$PN$tiempos (ver frecuentismo ).
2. Nos da una medida de la confianza que deberíamos tener de que, si medimos la caja una vez, satisfará la condición >51% (ver bayesianismo ).

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La probabilidad de que una sola partícula esté en estado$\epsilon_i$viene dada por la probabilidad de gibbs/boltzmann$P = e^{-\beta \epsilon_i}/Z$

Esto es un malentendido en general, pero se mantiene bajo ciertas condiciones. La probabilidad de que un sistema, que está en contacto térmico con un depósito con temperatura$T$- está en un microestado con energía$\epsilon_i$viene dada por esta expresión, donde la función de partición es la suma de los microestados $\mu$:

$$Z = \sum_{\mu\in\text{microstates}} e^{-\beta \epsilon_\mu}$$ Ahora, digamos que el sistema consta de$N$partículas idénticas que no interactúan, cada una de las cuales puede habitar uno de un conjunto de estados$\sigma$con energías$\mathcal E_\sigma$. Dado que la energía del microestado del sistema completo$\epsilon_n$es solo la suma de todas las energías de las partículas individuales, entonces podemos reorganizar la suma para producir $$Z = \sum_\mu e^{-\beta \epsilon_\mu} = \prod_{i\in\text{particles}}\sum_{\sigma\in\text{states}} e^{-\beta \mathcal E_\sigma}/N! = Z_1^N/N!$$ dónde$Z_1 = \sum_\sigma e^{-\beta \mathcal E_\sigma}$es la función de partición de "partícula única", y el factor de$N!$se ha insertado para resolver la paradoja de Gibbs . En esencia, estamos viendo una sola partícula como un sistema por derecho propio.

Si hacemos esto, entonces su expresión funciona: la probabilidad de que un estado$\sigma$con energia$\mathcal E_\sigma$está ocupado por alguna partícula elegida es de hecho$e^{-\beta E_\sigma}/Z_1$. La razón por la que esto es independiente de todas las demás partículas del sistema es que hemos asumido que las partículas no interactúan; como resultado, ninguna partícula sabe lo que hacen las demás y sus distribuciones de probabilidad de una sola partícula son independientes entre sí.

Aunque nunca podemos saber cuándo sucede esto, nuestra intuición nos dice que cuando esto sucede, la probabilidad de encontrar una partícula en este estado debe ser 0, porque por definición no hay partículas en este estado, es decir, el sistema está en un microestado con 0 partículas en$e_i$. Pero incluso entonces tenemos un$p_i$porcentaje de probabilidad de encontrar la partícula en ese estado. ¿Cómo puedo resolver esta aparente paradoja?

Está mezclando el sistema con el conjunto que está usando para modelarlo. Las probabilidades no se calculan a partir del sistema real frente a usted en la mesa; se calculan a partir de un conjunto de sistemas idénticos, todos en diferentes microestados. Esta probabilidad se puede interpretar en el sentido frecuentista o bayesiano, pero en cualquier caso no es una declaración sobre el estado real del sistema real en su tabla.

Una posible analogía con un dado es considerar$1,2,3,4,5,6$como niveles de energía. Si simplemente lanzamos 600 dados a la vez, el resultado más probable es que cada nivel de energía ocurra en aproximadamente 100 dados. La energía del sistema es de aproximadamente$2100 (3,5 \times 600)$.

Sin embargo, si decimos que la energía es$1500$, y rechazar como inválidos todos los resultados donde la suma es diferente de$1500$, obtenemos la exponencial típica de la distribución de Boltzmann. La frecuencia de$1$'arena$2$será mayor que$5$'arena$6$'s.

Es la restricción de la energía total lo que restringe la probabilidad de que cada nivel de energía sea lo que es en la distribución de Boltzmann.