Función de partición para oscilador armónico cuántico

Hola chicos, actualmente estoy tratando de resolver un examen de prueba para un examen en unos días y estoy un poco confundido por las soluciones que nos dieron para este ejercicio:

Ejercicio:

Un sólido se compone de átomos de N, cada uno de los cuales está localizado en puntos de una red. Las excursiones sobre la posición de equilibrio de cada uno dan como resultado que cada átomo se comporte como un oscilador armónico unidimensional. Escriba la función de partición para un oscilador armónico atómico individual y para la colección, suponiendo que han llegado al equilibrio térmico entre sí a la temperatura T.

Z S PAG = ∑ norte = 1 ∞ mi ( − mi norte β ) dónde β es 1 / ( k B T ) y los niveles de energía de los osciladores armónicos cuánticos son mi norte = ℏ ω ( norte + 1 / 2 ) . Ahora traté de usar series geométricas para evaluar la suma:

Z S PAG = mi ( − β ℏ ω / 2 ) ∑ norte = 1 ∞ mi ( − β ℏ ω ) norte = mi ( − β ℏ ω / 2 ) 1 ( 1 − mi ( − β ℏ ω ) ) Con la sustitución θ = ℏ ω β dice la solución para Z S PAG debiera ser mi ( − θ / 2 ) 1 mi θ − 1 ) que no es exactamente la expresión que obtuve.

¿Alguien puede decirme dónde me equivoqué o la solución es simplemente falsa?

Respuestas (3)

  1. el numero cuantico norte del oscilador armónico va desde 0 a ∞ . (Tu suma comienza en 1.)
  2. ∑ norte = 0 ∞ mi − θ ( norte + 1 / 2 ) = mi − θ / 2 1 − mi − θ = mi θ / 2 mi θ − 1 = 1 mi θ / 2 − mi − θ / 2 . Supongo que solo hay un error en tu ejercicio. (Los TA también cometen errores).
  3. Las preguntas frecuentes dicen que no hay preguntas de tarea. Esperemos que no nos embreen y emplumen. ;-)
Vaya, sí, el cálculo que hice solo fue correcto para comenzar con n = 0, no estaba seguro por un segundo si el estado fundamental es n = 1 o n = 0 ... Ahora lo sé de nuevo :)
Las preguntas frecuentes y, además, esta metapregunta permiten preguntas de tarea, siempre que muestren el trabajo por parte de la persona que pregunta y tenga claro cuál es el problema conceptual.

Cuando evalúe la serie geométrica, debe recordar que la suma comienza en n = 1. La fórmula para la serie geométrica es fácil de recordar, vea que se obtiene simplemente sacando un factor de X y aislando la suma (2 seg. derivación):

Σ norte = 0 ∞ X norte = 1 + X + X 2 + . . . = 1 + X ( 1 + X + X 2 + . . . ) = 1 + X Σ norte = 0 ∞ X norte ⇔ ( 1 − X ) Σ norte = 0 ∞ X norte = 1 ⇔ Σ norte = 0 ∞ X norte = 1 ( 1 − X )

Tienes que sacar un solo factor de mi − β ℏ ω para usar esta fórmula,

Z S PAG = mi − β ℏ ω / 2 Σ norte = 1 ∞ ( mi − β ℏ ω ) norte = mi − β ℏ ω / 2 mi − β ℏ ω Σ norte = 0 ∞ ( mi − β ℏ ω ) norte = mi − β ℏ ω / 2 mi − β ℏ ω 1 1 − mi − β ℏ ω = mi − β ℏ ω / 2 mi β ℏ ω − 1 .

con tu θ = ℏ ω β obtienes lo que dice la solución,

Z S PAG = mi − θ / 2 mi θ − 1 .

Me equivoqué, la suma va de 0 a ∞ , por lo que no es necesario destacar un factor. ¡Pero gracias de cualquier manera!
@Morten, pero la suma debería comenzar en n = 0, no en n = 1.
@Chris. De hecho, pensé que era a propósito (por alguna oscura razón) ya que era consistente con la solución provista. Pero por supuesto que tienes razón :)!

Tu solución me parece correcta. Tenga en cuenta que se puede reescribir como Z S PAG = mi θ / 2 mi θ − 1 , lo que sugiere que la solución del examen simplemente tiene un error de signo en el argumento de la exponencial del numerador.

Acordado. El cálculo que hizo user17574 fue correcto.
Bueno, eso era lo que estaba pensando! Muchas gracias :)
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