Simplificar coshx+sinhxcosh⁡x+sinh⁡x\cosh x + \sinh x, cosh2x+sinh2xcosh2⁡x+sinh2⁡x\cosh^2 x + \sinh^2 x, cosh2x−sinh2xcosh2⁡x−sinh2⁡x\cosh ^2 x - \sinh^2 x usando solo la serie de Taylor de cosh,sinhcosh,sinh\cosh,\sinh

Question

Simplificar coshx+sinhxcosh⁡x+sinh⁡x\cosh x + \sinh x, cosh2x+sinh2xcosh2⁡x+sinh2⁡x\cosh^2 x + \sinh^2 x, cosh2x−sinh2xcosh2⁡x−sinh2⁡x\cosh ^2 x - \sinh^2 x usando solo la serie de Taylor de cosh,sinhcosh,sinh\cosh,\sinh

cálculo
Matemáticas
serie de poder
taylor-expansion

Héctor Lombardo

Estaba tratando de resolver la siguiente pregunta:

\begin{aligned} pecado X & = X + \frac{X^{3}}{3!} + \frac{X^{5}}{5!} + \dots \\ aporrear X & = 1 + \frac{X^{2}}{2!} + \frac{X^{4}}{4!} + \dots \end{aligned}

$\begin{align*} \sinh x &= x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots \\ \cosh x &= 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots \end{align*}$

Usando solo esta información, calcule $\cosh x + \sinh x$ , $\cosh^2 x + \sinh^2 x$ , y $\cosh^2 x - \sinh^2 x$ .

Calculador $\cosh x + \sinh x$ fue fácil porque es solo la Serie Taylor de $e^x$ , pero tratar con la cuadratura es donde se vuelve difícil porque las Series de Taylor son infinitas. ¿Cómo puedo eludir la porción infinita para obtener $\cosh^2 x$ y $\sinh^2 x$ ?

PC1

Hay identidades bien conocidas para

\cosh^{2} (x) + \sinh^{2} (x) = \cosh (2 x)

$\cosh^2(x) + \sinh^2(x) = \cosh(2x)$ y

\cosh^{2} (x) - \sinh^{2} (x) = 1

$\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1$ .

Héctor Lombardo

Sí, pero la pregunta requería el uso de solo expansiones de la serie Taylor

Asher2211

Puedes probar usando las expansiones que

\cosh (x) - \sinh (x) = e^{- x}

$\cosh(x)-\sinh(x)=e^{-x}$

⟹ {aporrear}^{2} (X) - {pecado}^{2} (X) = (aporrear (X) - pecado (X)) (aporrear (X) + pecado (X)) = 1

$\implies \cosh^2(x)-\sinh^2(x)=(\cosh(x)-\sinh(x))(\cosh(x)+\sinh(x))=1$

Héctor Lombardo

¡Veo! Pero entonces, ¿cómo manejamos el problema de

c o s h^{2} + s i n h^{2}

$cosh^2 + sinh^2$ ?

Respuestas (2)

Simplificar coshx+sinhxcosh⁡x+sinh⁡x\cosh x + \sinh x, cosh2x+sinh2xcosh2⁡x+sinh2⁡x\cosh^2 x + \sinh^2 x, cosh2x−sinh2xcosh2⁡x−sinh2⁡x\cosh ^2 x - \sinh^2 x usando solo la serie de Taylor de cosh,sinhcosh,sinh\cosh,\sinh

Hay identidades bien conocidas para $\cosh^2(x) + \sinh^2(x) = \cosh(2x)$ y $\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1$ .
Sí, pero la pregunta requería el uso de solo expansiones de la serie Taylor
Puedes probar usando las expansiones que $\cosh(x)-\sinh(x)=e^{-x}$ $⟹ {aporrear}^{2} (X) - {pecado}^{2} (X) = (aporrear (X) - pecado (X)) (aporrear (X) + pecado (X)) = 1$ $\implies \cosh^2(x)-\sinh^2(x)=(\cosh(x)-\sinh(x))(\cosh(x)+\sinh(x))=1$
¡Veo! Pero entonces, ¿cómo manejamos el problema de $cosh^2 + sinh^2$ ?

sammy negro · Answer 1

Para multiplicar dos series de potencias, digamos

\begin{aligned} A (X) & = a_{0} + a_{1} X + a_{2} X^{2} + \dots \\ B (X) & = b_{0} + b_{1} X + b_{2} X^{2} + \dots, \end{aligned}

$\begin{align*} \def\bl#1{\color{blue}{#1}} \def\gr#1{\color{green}{#1}} \bl{A}(x) &= \bl{a_0} + \bl{a_1}x + \bl{a_2}x^2 + \cdots \\ \gr{B}(x) &= \gr{b_0} + \gr{b_1}x + \gr{b_2}x^2 + \cdots, \end{align*}$ tenemos que imaginar abrir paréntesis:

\begin{aligned} A (X) B (X) & = (a_{0} + a_{1} X + a_{2} X^{2} + \dots) (b_{0} + b_{1} X + b_{2} X^{2} + \dots) \\ = a_{0} (b_{0} + b_{1} X + b_{2} X^{2} + \dots) \\ + a_{1} X (b_{0} + b_{1} X + b_{2} X^{2} + \dots) \\ + a_{2} X^{2} (b_{0} + b_{1} X + b_{2} X^{2} + \dots) \\ + \dots \\ = (a_{0} b_{0} + a_{0} b_{1} X + a_{0} b_{2} X^{2} + \dots) \\ + (a_{1} b_{0} X + a_{1} b_{1} X^{2} + a_{1} b_{2} X^{3} + \dots) \\ + (a_{2} b_{0} X^{2} + a_{2} b_{1} X^{3} + a_{2} b_{2} X^{4} + \dots) \\ + \dots \end{aligned}

$\begin{align*} \bl{A}(x) \, \gr{B}(x) &= \bigl( \bl{a_0} + \bl{a_1}x + \bl{a_2}x^2 + \cdots \bigr) \, \bigl( \gr{b_0} + \gr{b_1}x + \gr{b_2}x^2 + \cdots \bigr) \\ &= \bl{a_0} \, \bigl( \gr{b_0} + \gr{b_1}x + \gr{b_2}x^2 + \cdots \bigr) \\ &\quad {}+ \bl{a_1}x \, \bigl( \gr{b_0} + \gr{b_1}x + \gr{b_2}x^2 + \cdots \bigr) \\ &\qquad {}+ \bl{a_2}x^2 \, \bigl( \gr{b_0} + \gr{b_1}x + \gr{b_2}x^2 + \cdots \bigr) \\ &\qquad\quad {}+\cdots \\ &= \bigl( \bl{a_0}\gr{b_0} + \bl{a_0}\gr{b_1}x + \bl{a_0}\gr{b_2}x^2 + \cdots \bigr) \\ &\quad {}+ \bigl( \bl{a_1}\gr{b_0}x + \bl{a_1}\gr{b_1}x^2 + \bl{a_1}\gr{b_2}x^3 + \cdots \bigr) \\ &\qquad {}+ \bigl( \bl{a_2}\gr{b_0}x^2 + \bl{a_2}\gr{b_1}x^3 + \bl{a_2}\gr{b_2}x^4 + \cdots \bigr) \\ &\qquad\quad {}+\cdots \end{align*}$ Ahora, recopilamos términos semejantes:

\begin{aligned} A (X) B (X) & = (a_{0} b_{0}) \\ + (a_{0} b_{1} + a_{1} b_{0}) X \\ + (a_{0} b_{2} + a_{1} b_{1} + a_{2} b_{0}) X^{2} \\ + \dots \end{aligned}

$\begin{align*} \bl{A}(x) \, \gr{B}(x) &= \bigl( \bl{a_0}\gr{b_0} \bigr) \\ &\quad {}+ \bigl( \bl{a_0}\gr{b_1} + \bl{a_1}\gr{b_0} \bigr) x \\ &\qquad {}+ \bigl( \bl{a_0}\gr{b_2} + \bl{a_1}\gr{b_1} + \bl{a_2}\gr{b_0} \bigr) x^2 \\ &\qquad\quad {}+\cdots \end{align*}$ En general, el

x^{n}

$x^n$ coeficiente en

A (x) B (x)

$\bl{A}(x) \gr{B}(x)$ es

a_{0} b_{norte} + a_{1} b_{norte - 1} + \dots + a_{norte - 1} b_{1} + a_{norte} b_{0},

$\bl{a_0}\gr{b_n} + \bl{a_1}\gr{b_{n-1}} + \cdots + \bl{a_{n-1}}\gr{b_1} + \bl{a_n}\gr{b_0},$ es decir, una suma de términos

a_{i} b_{j}

$\bl{a_i}\gr{b_j}$ , dónde

i + j = n

$\bl{i} + \gr{j} = n$ .

¿Puedes ver cómo usar estas observaciones para elevar al cuadrado la serie de la trigonometría hiperbólica? funciones? Hay algunos patrones bastante sencillos que debe reconocer antes de tener que calcular demasiados coeficientes. ¡Intentalo!

Ishan Chaurasia · Answer 2

Tenemos

\begin{aligned} {aporrear}^{2} (X) & = (\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{X^{2 k}}{(2 k)!}) (\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{X^{2 k}}{(2 k)!}) \\ = \sum_{k = 0}^{\infty} \sum_{yo = 0}^{k} \frac{X^{2 yo} X^{2 (k - yo)}}{(2 yo)! (2 (k - yo))!} \\ = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{X^{2 k}}{(2 k)!} \sum_{yo = 0}^{k} (\binom{2 k}{2 yo}) \\ = 1 + \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{2^{2 k - 1} X^{2 k}}{(2 k)!} \\ = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(2 X)^{2 k}}{(2 k)!} \\ = \frac{1}{2} (aporrear 2 X + 1) \end{aligned}

$\begin{align} \cosh^2(x)&=\left(\sum_{k=0}^\infty \frac{x^{2k}}{(2k)!}\right)\left(\sum_{k=0}^\infty \frac{x^{2k}}{(2k)!}\right) \\&= \sum_{k=0}^\infty \sum_{l=0}^k \frac{x^{2l}x^{2(k-l)}}{(2l)!(2(k-l))!} \\&= \sum_{k=0}^\infty \frac{x^{2k}}{(2k)!} \color{red}{\sum_{l=0}^k \binom{2k}{2l}} \\&= 1 + \sum_{k=1}^\infty \frac{\color{red}{2^{2k-1}}x^{2k}}{(2k)!} \\&= \frac 1 2 +\frac 1 2 \sum_{k=0}^\infty \frac{(2x)^{2k}}{(2k)!} \\&= \frac 1 2 (\cosh{2x}+1) \end{align}$ donde el rojo es una identidad bien conocida (cuando

2 k \in Z^{+}

$2k \in \mathbb{Z^+}$ ). De manera similar tenemos

\begin{aligned} {pecado}^{2} (X) & = (\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{X^{2 k + 1}}{(2 k + 1)!}) (\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{X^{2 k + 1}}{(2 k + 1)!}) \\ = \sum_{k = 0}^{\infty} \sum_{yo = 0}^{k} \frac{X^{2 yo + 1} X^{2 (k - yo) + 1}}{(2 yo + 1)! (2 (k - yo) + 1)!} \\ = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{X^{2 (k + 1)}}{(2 (k + 1))!} \sum_{yo = 0}^{k} (\binom{2 (k + 1)}{2 yo + 1}) \\ = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{2^{2 k + 1} X^{2 (k + 1)}}{(2 (k + 1))!} \\ = \frac{1}{2} \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(2 X)^{2 (k + 1)}}{(2 (k + 1))!} \\ = \frac{1}{2} \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(2 X)^{2 k}}{(2 k)!} \\ = \frac{1}{2} (aporrear 2 X - 1) \end{aligned}

$\begin{align} \sinh^2(x)&=\left(\sum_{k=0}^\infty \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}\right)\left(\sum_{k=0}^\infty \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}\right) \\&= \sum_{k=0}^\infty \sum_{l=0}^k \frac{x^{2l+1}x^{2(k-l)+1}}{(2l+1)!(2(k-l)+1)!} \\&= \sum_{k=0}^\infty \frac{x^{2(k+1)}}{(2(k+1))!} \color{red}{\sum_{l=0}^k \binom{2(k+1)}{2l+1}} \\&= \sum_{k=0}^\infty \frac{\color{red}{2^{2k+1}}x^{2(k+1)}}{(2(k+1))!} \\&= \frac 1 2 \sum_{k=0}^\infty \frac{(2x)^{2(k+1)}}{(2(k+1))!} \\&= \frac 1 2 \sum_{k=1}^\infty \frac{(2x)^{2k}}{(2k)!} \\&= \frac 1 2 (\cosh{2x} - 1) \end{align}$

Entonces

{aporrear}^{2} (X) + {pecado}^{2} (X) = \frac{1}{2} (aporrear 2 X + 1) + \frac{1}{2} (aporrear 2 X - 1) = aporrear (2 X)

$\cosh^2(x)+\sinh^2(x)=\frac 1 2 (\cosh{2x}+1) + \frac 1 2 (\cosh{2x} - 1)=\cosh(2x)$ y

{aporrear}^{2} (X) - {pecado}^{2} (X) = \frac{1}{2} (aporrear 2 X + 1) - \frac{1}{2} (aporrear 2 X - 1) = 1

$\cosh^2(x)-\sinh^2(x)=\frac 1 2 (\cosh{2x}+1) - \frac 1 2 (\cosh{2x} - 1)=1$

Simplificar coshx+sinhxcosh⁡x+sinh⁡x\cosh x + \sinh x, cosh2x+sinh2xcosh2⁡x+sinh2⁡x\cosh^2 x + \sinh^2 x, cosh2x−sinh2xcosh2⁡x−sinh2⁡x\cosh ^2 x - \sinh^2 x usando solo la serie de Taylor de cosh,sinhcosh,sinh\cosh,\sinh

Héctor Lombardo

PC1

Héctor Lombardo

Asher2211

Héctor Lombardo

Respuestas (2)

sammy negro

Ishan Chaurasia

Series que suman log(2)??

¿Qué función hace ∑∞n=0(−1)n(2n)!(1−2n)n!24nxny2n∑n=0∞(−1)n(2n)!(1−2n)n!24nxny2n\sum_{ n=0}^\infty \frac{(-1)^n(2n)!}{(1-2n)n!^24^n}\frac{x^n}{y^{2n}} corresponden a ?

Suma ∑∞n=0xnk(n+k)∑n=0∞xnk(n+k)\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{k(n+k)}

la escritura funciona como una serie de potencias

Expansión asintótica de exp(−π2F1(12,12,1;1−x)2F1(12,12;1;x))exp⁡(−π2F1(12,12,1;1−x)2F1(12,12 ;1;x))\exp\left(-\pi\frac {_2F_1(\frac12, \frac12, 1; 1-x)}{_2F_1(\frac12, \frac12;1;x)}\right)

Deducir una desigualdad a partir de una expansión en serie de Taylor

Serie de Taylor para yyy que satisface y′(x)=x+y(x)2y′(x)=x+y(x)2y'(x) = x + y(x)^2

Resolución de problemas de una ecuación diferencial no homogénea por el método de expansión en serie

Serie de Taylor de 2xex2xex2xe^x

Series infinitas para estos dos valores.