¿Qué función hace ∑∞n=0(−1)n(2n)!(1−2n)n!24nxny2n∑n=0∞(−1)n(2n)!(1−2n)n!24nxny2n\sum_{ n=0}^\infty \frac{(-1)^n(2n)!}{(1-2n)n!^24^n}\frac{x^n}{y^{2n}} corresponden a ?

Una buena serie para conocer de improviso es

$$\frac{1}{\sqrt{1-4t}} = \sum_{n=0}^\infty {2n \choose n}t^n$$

que casi nos consigue la serie que deseamos con$t = -\frac{x}{4y^2}$

$$\frac{1}{\sqrt{1+\frac{x}{4y^2}}} = \sum_{n=0}^\infty {2n \choose n}\left(-\frac{x}{4y^2}\right)^n$$

excepto por el término ofensivo$1-2n$en el denominador. Sin embargo, un pequeño ajuste a la serie original con$t = -z^{-2}$

$$\frac{1}{\sqrt{1+\frac{4}{z^2}}} = \frac{|z|}{\sqrt{z^2+4}}= \sum_{n=0}^\infty {2n \choose n}(-1)^nz^{-2n}$$

nos da la serie que queremos a través de la integración

$$\sqrt{z^2+4}\operatorname{sgn}(z) = \sum_{n=0}^\infty {2n \choose n}\frac{z^{1-2n}}{1-2n} \implies \frac{\sqrt{z^2+4}}{|z|} = \sum_{n=0}^\infty {2n \choose n}\frac{z^{-2n}}{1-2n}$$

sustituyendo$z= \frac{2y}{\sqrt{x}}$

$$\sum_{n=0}^\infty {2n \choose n}\frac{1}{1-2n}\left(-\frac{x}{4y^2}\right)^n = \boxed{\frac{\sqrt{y^2+x}}{|y|}=\sqrt{1+\frac{x}{y^2}}}$$