Resolución de problemas de una ecuación diferencial no homogénea por el método de expansión en serie

Estoy tratando de resolver el DE$y''+y=x^2$usando el método de expansión en serie. Primero, supongo que existe una solución.

$$y=a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3+a_4 x^4+a_5x^5+...$$

$$\therefore y'=0+a_1 +2a_2 x+3a_3 x^2+4a_4x^3+5a_5x^4...$$

$$\therefore y''=0+0 +2a_2 +6a_3 x+12a_4x^2+20a_5x^3...$$

Sustituyendo en la DE,

$$(2a_2 +6a_3 x+12a_4x^2+20a_5x^3+...)+(a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3+a_4 x^4+...)=x^2$$

y luego igualando coeficientes de potencias similares,

$$x^0\Rightarrow2a_2+a_0=0$$ $$x^1\Rightarrow6a_3+a_1=0$$ $$x^2\Rightarrow12a_4+a_2=1$$ $$x^3\Rightarrow20a_5+a_3=0$$

Entonces, resolviendo las relaciones de recurrencia, dado que el RHS no es$x^2$pero$0$en cambio, aparece una serie de Maclaurin muy simple, dando$\sin x$y$\cos x$. pero no lo es$0$. Hay una discontinuidad en el patrón porque sale un 1 aleatorio del$x^2$término. ¿Cómo se explica esto? ¿Podría simplemente hacer el término para todos los términos?$=0$y LUEGO restándolo del término sen o cos, luego sumando el término propio con el 1 para$x^2$? Tal vez eso sea confuso ... de todos modos, ¿alguien podría informarme sobre el siguiente paso? Literalmente, todas las respuestas aquí para preguntas como la mía no me ayudaron. Gracias