la escritura funciona como una serie de potencias

No. Dentro del radio de convergencia de una serie de potencias, la función a la que converge es infinitamente diferenciable. No todas las funciones son infinitamente diferenciables.

Agregando a la respuesta de @jawheele, incluso si una función dada es infinitamente diferenciable, no se garantiza que tenga una representación de serie de potencias centrada en un punto dado. Por ejemplo, la función$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$definido por

satisface$f^{(n)}(0)=0$para todos$n\geq 0$, por lo que una representación en serie de potencias para$f$centrado en$0$, si existe, será (necesariamente)

Esto contradice el hecho de que$f(x)=e^{-\frac{1}{x^2}}$para todos$x\neq 0$, por lo que no puede tener una representación en serie de potencias alrededor$0$.

Si se pregunta por qué la serie de potencias de$f$alrededor$0$debe ser el de arriba, recomendaría leer sobre la teoría de la serie de Taylor.