Suma ∑∞n=0xnk(n+k)∑n=0∞xnk(n+k)\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{k(n+k)}

Dejar$P(x) = \sum\limits_{n = 0}^\infty \frac{x^n}{k(n + k)}$.

Entonces vemos que$x^{k} P(x) = \sum\limits_{n = 0}^\infty \frac{x^{n + k}}{k(n + k)}$.

Entonces vemos que$\frac{d}{dx} x^k P(x) = \sum\limits_{n = 1}^\infty \frac{x^{n + k - 1}}{k} = \frac{x^k}{k} \sum\limits_{n = 1}^\infty x^{n - 1} = \frac{x^k}{k} \frac{1}{1 - x}$.

Ahora, en general, la cantidad$\frac{x^k}{k} \frac{1}{1 - x}$no tiene una buena antiderivada. Sin embargo, en el caso de que$k$es un entero conocido, podemos tomar explícitamente la antiderivada para obtener una buena forma cerrada para$P(x)$.

Editar: de hecho, siempre que$k$es racional, podemos encontrar alguna forma cerrada para la integral. Si$k = \frac{p}{q}$, entonces podemos proceder con la sustitución$u^q = x$para obtener la integral de$\frac{u^p}{k} \frac{1}{1 - u^q} q u^{q - 1}$, que es una función racional y por lo tanto se puede integrar usando el método de fracciones parciales.

En general, se debe expresar la suma en términos de la función trascendente de Lerch. Pero esto es esencialmente solo una reformulación de la suma original y ofrece poca información.

como ya se dijo

$$f_k(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{k(n+k)}=\frac 1k \Phi (x,1,k)$$ donde aparece la función trascendente de Hurwitz-Lerch.

Si$k$es un número entero, puedes escribirlo como

$$f_k(x)=-\frac {x^{1-k}}k \Bigg[\frac{\log (1-x)}{x}+\sum_{n=1}^{k-1}\frac{x^{n-1}} n \Bigg]$$

Para el caso en que$k$no es un número entero, te podría interesar este artículo .

Usando el enfoque de @Mark Saving, para el caso más general también podemos escribir

$$f_k(x)=\frac{x }{k (k+1)}\, _2F_1(1,k+1;k+2;x)+\frac{1}{k^2}$$ donde aparece la función hipergeométrica gaussiana y$k$puede ser cualquier número.