Deducir una desigualdad a partir de una expansión en serie de Taylor

Question

Deducir una desigualdad a partir de una expansión en serie de Taylor

cálculo
desigualdad
Matemáticas
taylor-expansion

adelante

Considere la desigualdad

1 - \frac{X}{2} - \frac{X^{2}}{2} \leq \sqrt{1 - X} < 1 - \frac{X}{2}

$1-\frac{x}{2}-\frac{x^2}{2} \le \sqrt{1-x} < 1-\frac{x}{2}$ para

0 < x < 1

$0 < x < 1$ . El límite superior se puede leer en la expansión de Taylor para

\sqrt{1 - x}

$\sqrt{1-x}$ alrededor

0

$0$ ,

\sqrt{1 - X} = 1 - \frac{X}{2} - \frac{X^{2}}{8} - \frac{X^{3}}{dieciséis} - \dots

$\sqrt{1-x} = 1 - \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} - \frac{x^3}{16} - \dots$ al notar que todos los términos no lineales son negativos. ¿Se puede leer la desigualdad del lado izquierdo de la expansión mediante un razonamiento similar? No intente probar la desigualdad del lado izquierdo por otros medios (como minimizar

\sqrt{1 - x} - 1 + \frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{2}

$\sqrt{1-x} - 1 + \frac{x}{2} + \frac{x^2}{2}$ usando derivados).

Respuestas (2)

Deducir una desigualdad a partir de una expansión en serie de Taylor

naranja · Answer 1

tenemos una funcion

F (X) = \sqrt{1 - X} = 1 - \frac{X}{2} - \frac{X^{2}}{8} - \frac{X^{3}}{dieciséis} - \frac{5 X^{4}}{128} - \frac{7 X^{5}}{256} - \dots = = 1 - a_{1} X - a_{2} X^{2} - a_{3} X^{3} \dots

$f(x) =\sqrt{1-x} = 1 - \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} - \frac{x^3}{16} - \frac{5 x^4}{128 }- \frac{7 x^5}{256}- \cdots = \\=1 - a_1 x - a_2 x^2 -a_3 x^3 \cdots$ La serie converge para cada

x \in [0, 1]

$x\in [0,1]$ , entonces tenemos

a_{1} + a_{2} + \dots = 1

$a_1 + a_2 + \cdots = 1$

Por lo tanto podemos escribir

1 - \frac{X}{2} - \frac{X^{2}}{2} = 1 - a_{1} X - (a_{2} + a_{3} + \dots) X^{2} < < 1 - a_{1} X - a_{2} X^{2} - a_{3} X^{3} - \dots = F (X)

$1 - \frac{x}{2} - \frac{x^2}{2} = 1 - a_1 x - (a_2 + a_3 + \cdots ) x^2< \\ <1 - a_1 x - a_2 x^2 - a_3 x^3 -\cdots = f(x)$ para

x \in (0, 1)

$x\in (0,1)$ .

miguel rozenberg · Answer 2

Necesitamos demostrar que

(2 - X - X^{2})^{2} \leq 4 (1 - X),

$(2-x-x^2)^2\leq4(1-x),$ cual es

X^{2} (3 + X) (1 - X) \geq 0.

$x^2(3+x)(1-x)\geq0.$

Me pregunto si esto cae dentro de la categoría "prueba por otros medios".

Deducir una desigualdad a partir de una expansión en serie de Taylor

adelante

Respuestas (2)

naranja

Martín R.

adelante

miguel rozenberg

Martín R.

Demostración de límites en un producto infinito

Expansión asintótica de exp(−π2F1(12,12,1;1−x)2F1(12,12;1;x))exp⁡(−π2F1(12,12,1;1−x)2F1(12,12 ;1;x))\exp\left(-\pi\frac {_2F_1(\frac12, \frac12, 1; 1-x)}{_2F_1(\frac12, \frac12;1;x)}\right)

Serie de Taylor para yyy que satisface y′(x)=x+y(x)2y′(x)=x+y(x)2y'(x) = x + y(x)^2

Simplificar coshx+sinhxcosh⁡x+sinh⁡x\cosh x + \sinh x, cosh2x+sinh2xcosh2⁡x+sinh2⁡x\cosh^2 x + \sinh^2 x, cosh2x−sinh2xcosh2⁡x−sinh2⁡x\cosh ^2 x - \sinh^2 x usando solo la serie de Taylor de cosh,sinhcosh,sinh\cosh,\sinh

Series que suman log(2)??

Serie de Taylor de 2xex2xex2xe^x

Demostrar una desigualdad sobre el producto de integrales

Necesito ayuda con un problema relacionado con la n-ésima derivada de arcsen x

Evaluar límites usando una serie

Desigualdad con factoriales descendentes