Serie de Taylor de 2xex2xex2xe^x

La expresión que tienes es correcta , pero dudo que sea lo que buscan. Es decir, le gustaría tener solo términos de$(x-1)^n$y ninguno de$x$(ya que de lo contrario, no está realmente "centrado" en$x=1$). Sería una buena solución, como sugieren los comentarios, escribir$x=(x-1)+1$y reconstruir la serie con eso, pero una solución alternativa que es más de cálculo y hace uso del hecho de que$e^x$es una función genial para multiplicar otras cosas con:

En particular, deja$f(x)=2xe^x$. Podemos calcular fácilmente las primeras derivadas a través de la regla del producto:

$$f'(x)=2xe^x+2e^x$$ $$f''(x)=2xe^x+4e^x$$ $$f'''(x)=2xe^x+6e^x$$ y así sucesivamente - observe que siempre tenemos un término de la forma $2xe^x$ya que la derivada de $e^x$es $e^x$. De manera más general, podríamos escribir $f'(x)=f(x)+2e^x$para capturar esta recurrencia, lo que nos permite expandir, por ejemplo: $$f^{(n+1)}(x)=f^{(n)}(x)+\frac{d^n}{dx^n}2e^x=f^{(n)}(x)+2e^x$$ lo que significa que, para cada derivada, simplemente agregamos un nuevo término de la forma $2e^x$. Entonces, obtenemos, en forma cerrada, que: $$f^{(n)}(x)=2xe^x + 2ne^x$$ y esto es trivial de evaluar y usar para hacer una serie de Taylor.

Tu primera idea es válida, puedes reescribir la exponencial como$e^x=e\cdot e^{x-1}$. Pero entonces también deberías transformar el factor$2x$usando$2x=2(x-1)+2$.

Entonces,

$$2xe^x=(2(x-1)+2)e\sum_{n=0}^\infty \frac{(x-1)^n}{n!} \\=2e\sum_{n=0}^\infty \frac{(x-1)^{n+1}}{n!}+2e\sum_{n=0}^\infty \frac{(x-1)^{n}}{n!} \\=2e\sum_{n=1}^\infty \frac{(x-1)^{n}}{(n-1)!}+2e\sum_{n=0}^\infty \frac{(x-1)^{n}}{n!} \\=2e+2e\sum_{n=1}^\infty \frac{(n+1)}{n!}(x-1)^{n}.$$

Primero escriba la serie de Taylor para$2xe^x$centrado en$x=0$.

$$2xe^x=2x \cdot \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2x^{n+1}}{n!}$$

Ahora pon$x=t-1$, tienes:

$$2(t-1)e^{t-1}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2(t-1)^{n+1}}{n!}$$

Pero$2(t-1)e^{t-1}=e^{-1}2te^{t}-e^{-1}2e^{t}$y tienes la expansión de Taylor para$e^{-1}2e^{t}$en$t=1$,entonces:

$$e^{-1}2te^{t}-e^{-1}2e^{t}=e^{-1}2e^{t}- \sum_{n=0}^\infty \frac{(t-1)^n}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2(t-1)^{n+1}}{n!}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2(t-1)^{n}}{(n-1)!}$$

Finalmente:

$$e^{-1}2e^{t}=\sum_{n=0}^\infty \frac{(t-1)^n}{n!}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2(t-1)^{n}}{(n-1)!}$$

Escribir$2xe^x=2(x-1)e^x+2e^x$y$e^x=e\cdot e^{x-1}$para obtener$2xe^x=2e(x-1)e^{x-1}+2e\cdot e^{x-1}$. Desde

$$e^{x-1}=\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!}(x-1)^k,$$ tenemos $$\begin{align*} 2xe^x&=2e(x-1)e^{x-1}+2e\cdot e^{x-1} \\ &= 2e(x-1)\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!}(x-1)^k+2e \sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!}(x-1)^k \\ &= 2e\left(\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{(k-1)!}(x-1)^k+\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k!}(x-1)^k+1\right) \\ &= 2e\left(1+\sum_{k=1}^\infty\left(\frac{1}{(k-1)!}+\frac{1}{k!}\right)(x-1)^k\right) \\ &= 2e\sum_{k=0}^\infty\frac{k+1}{k!}(x-1)^k. \end{align*}$$

La forma clásica:

$$\begin{align}&f(x)=2xe^x,&f(1)=2e \\&f'(x)=2e^x+2xe^x,&f'(1)=4e \\&f''(x)=2e^x+2e^x+2xe^x=4e^x+2xe^x,&f''(1)=6e \\&f'''(x)=4e^x+2e^x+2xe^x=6e^x+2xe^x,&f'''(1)=8e\end{align}$$ $$...$$ Más generalmente, $$f^{(n)}(1)=2(n+1)e,$$ y $$2xe^x=2e\sum_{n=0}^\infty\frac{n+1}{n!}(x-1)^n.$$