Series infinitas para estos dos valores.

Sé que si quiero una serie infinita cuyo resultado sea$4$, podría hacer algo como esto:

$$4= \dfrac{1}{1/4} = \dfrac{1}{\dfrac{4-3}{4}} = \dfrac{1}{1 -\dfrac{3}{4}} = \sum_{n=0}^{\infty} \left(\dfrac{3}{4} \right)^n,$$

usando la famosa relación:

$$\dfrac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n, \quad |x| < 1.$$

Creo que esto funciona para todos los números racionales. Otro ejemplo es una serie infinita cuyo resultado es$\sqrt 2$, como se muestra en esta respuesta :

$$\begin{equation*} \sqrt2 =\sum_{k=0}^\infty\frac{(2k-1)!!}{4^kk!}. \end{equation*}$$

Hay algunas series infinitas que involucran$\pi$como:

$$\begin{align} \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^2} &= \dfrac{\pi^2}{6},\\ \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{n+1}}{2n-1} &= \dfrac{\pi}{4}, \\ \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^4} &= \dfrac{\pi^4}{90}, \\ \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{n+1}}{(2 n-1)^3} = &= \dfrac{\pi^3}{32}. \end{align}$$

Así me gustaría saber si existe una serie infinita con términos racionales para:

$$\dfrac{\pi^2 - 8}{16} = \sum \text{Some expression}$$

y para:

$$\dfrac{3 \pi^3 \sqrt 2}{16} = \sum \text{Some expression}.$$