Simplificando una expresión Bra-Ket

La razón es que$H_0$como observable es hermitiano$H_0 = H_0^\dagger$. Eso significa que puedes usar

$$\langle\Psi_b|H_0 r|\Psi_a\rangle = (\langle\Psi_a|r^\dagger H_0^\dagger|\Psi_b\rangle)^\ast = (\langle\Psi_a|r^\dagger H_0|\Psi_b\rangle)^\ast$$

También podría decir que es parte de la definición de la notación bra-ket, que los operadores$A$adentro actúa como$A$a la derecha y como$A^\dagger$A la izquierda.

Aquí hay una derivación alternativa que usa la expansión de la unidad:

$$\mathbb{1}=\sum_c \vert \psi_c\rangle\langle \psi_c\vert$$ en lugar de hermiticidad explícita.

De

$$\begin{align} \langle\psi_b\vert H_0 r\vert\psi_a\rangle= \langle\psi_b\vert H_0\mathbb{1} r\vert\psi_a\rangle =\sum_c\langle\psi_b\vert H_0\vert\psi_c\rangle\langle \psi_c\vert r\vert\psi_a\rangle\, . \end{align}$$ En esta etapa utiliza$H_0\vert\psi_c\rangle = E_c\vert\psi_c\rangle$Llegar $$\begin{align} \langle \psi_b\vert H_0 r\vert\psi_a\rangle &= \sum_c E_c\langle\psi_b\vert\psi_c\rangle\langle\psi_c\vert r\vert\psi_a\rangle\, ,\\ &=E_b\langle \psi_b\vert r\vert\psi_a\rangle, \end{align}$$ donde en el ultimo paso$\langle \psi_b\vert\psi_c\rangle=\delta_{bc}$se ha utilizado para eliminar la suma.