hamiltonianos, operadores de creación/aniquilación, recursividad

El siguiente es un preámbulo para la motivación que se puede omitir; la pregunta se hará al final.

Recientemente comencé a estudiar los operadores de creación y aniquilación. a ^ † y a ^ en un curso de QM que estoy tomando, se han presentado como satisfactorios

H ^ = a ^ a ^ † γ + ζ ,
para γ , ζ ∈ C . En el curso, inicialmente se nos dio un hamiltoniano específico para trabajar (partícula única en un pozo de potencial cuadrado infinito), y derivamos formas para a ^ † y a ^ basado en esta forma exacta del hamiltoniano.

Se me ocurrió que efectivamente estábamos viendo el hamiltoniano como un polinomio multivariante sobre C con los operadores observables como variables, por ejemplo

H ^ = pag ^ 2 2 metro + V ^ ( X ^ ) = 1 2 metro pag ^ 2 + metro ω 2 2 X ^ 2 ,
luego, usando el algoritmo de división euclidiana para aprovechar el hecho de que los anillos polinómicos son dominios euclidianos para formar un máximo común divisor de H ^ y a ^ † a ^ , dónde
a ^ = metro ω 2 ℏ X ^ + i 1 2 ℏ metro ω pag ^ .
En este caso el máximo común divisor es γ = ω ℏ con un resto de ζ = ω ℏ 2 .

Mi pregunta es esta:

¿Es este proceso de ver el hamiltoniano como un 'polinomio de operador multivariante' de grado ≥ 2 en un dominio euclidiano, donde las variables son operadores observables, físicamente significativos de alguna manera?

En particular, ¿el proceso de encontrar el máximo común divisor de H ^ y a ^ a ^ † en este entorno tienen algún significado físico establecido, donde vemos H ^ como operador de energía total y a ^ † , a ^ como los operadores de creación y aniquilación?

Tenga en cuenta que (como todos los algoritmos) el algoritmo de división euclidiana es una recursión finita, por lo que esta pregunta puede verse de manera más general como una pregunta sobre las relaciones recursivas entre el hamiltoniano de un sistema y los operadores de creación/aniquilación para ese sistema.

EDITAR: Dado que el máximo común divisor (MCD) ω ℏ y el resto ω ℏ 2 tienen las unidades de energía en el caso específico anterior, sospecho que el GCD podría estar relacionado con la cuantización de alguna manera.

SEGUNDA EDICIÓN: en respuesta a un comentario a continuación, me gustaría aclarar que está completamente bien tener una noción de un polinomio no conmutativo, o en este caso, un polinomio conmutativo de soporte de mentira. Este polinomio hamiltoniano sería una estructura de este tipo, por lo que X ^ pag ^ = pag ^ X ^ + [ X ^ , pag ^ ] = pag ^ X ^ + i ℏ sigue estando bien como identidad. Sin embargo, para que una estructura de este tipo sea un dominio euclidiano, debemos requerir que los polinomios generales conmuten entre sí, lo cual está bien ya que podemos cancelar cualquier no conmutatividad agregando los términos adicionales apropiados (esto determinará el subespacio del dominio euclidiano del espacio total del operador en algún sentido).

OTRA EDICIÓN: en respuesta a otro comentario a continuación, vale la pena mencionar que los anillos de polinomios multivariados son generalmente solo dominios de factorización únicos, no necesariamente dominios euclidianos (podemos descomponer polinomios multivariados en factores únicos, pero no siempre existe un GCD único entre dos elementos). A pesar de esto, creo que es posible restringirse a ciertos subconjuntos de anillos polinómicos multivariados para obtener un dominio euclidiano (hablando en términos generales, mire los subconjuntos conectados por factores), y sospecho que a ^ † a ^ y H ^ vivirán juntos en tal subespacio en general.

¿Alguna razón para el voto negativo? Si puedo aclarar algo, por favor hágamelo saber.
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@safesphere Cest la vie -- gracias por avisar.
No creo que lo que estás sugiriendo tenga mucho sentido, pero tal vez simplemente no lo entiendo completamente. Por favor aclare lo siguiente: ¿su tratamiento tiene en cuenta la no conmutatividad de X y pag ? Parece que desde tu punto de vista, X pag y pag X son lo mismo, cuando en realidad no lo son. PD: no voté negativo
Posibles duplicados: physics.stackexchange.com/q/10804/2451 y enlaces allí.
@SolenodonParadoxus La idea aquí es que formamos un hamiltoniano hermitiano viéndolo como un operador polinomial compuesto por otras cantidades observables físicamente además de la energía. Eso X ^ pag ^ = pag ^ X ^ + [ pag ^ , X ^ ] está bien en este contexto, solo necesitamos asegurarnos de que el polinomio hamiltoniano en estos operadores se forme de manera apropiada para que sea hermitiano. Todo esto es un poco como una cortina de humo: me gustaría dar por sentado todo el comportamiento QM estándar de los operadores observables además H ^ , luego construye H ^ y a ^ † a ^ .
@SolenodonParadoxus (cont.) Me gustaría tratar de entender el fenómeno de la cuantización como relacionado con/determinado por el proceso de encontrar el GCD de H ^ y a ^ † a ^ , viendo el subconjunto del espacio del operador donde H ^ y a ^ † a ^ live como un dominio euclidiano que garantiza que siempre podamos usar la recursividad para encontrar dicho GCD (los términos de orden superior en el hamiltoniano requerirán recursiones más largas, posiblemente relacionadas con cuantizaciones más complejas).
nota: debí haber puesto X ^ pag ^ = pag ^ X ^ + [ X ^ , pag ^ ] en mi comentario anterior, pero la esencia es la misma.
@AlecRhea ok, ¿y por qué ese GCD es físicamente relevante en el caso general?
@SolenodonParadoxus Eso es algo que también me interesa: en el caso general de los operadores sobre espacios complejos de Hilbert, si construimos un operador H ^ como un polinomio en un grupo de componentes hermitianos e intenta encontrar un GCD con el producto de algunos operadores a ^ † y a ^ tal que d mi gramo ( a ^ ) = d mi gramo ( a ^ † ) = d mi gramo ( H ^ ) 2 , en última instancia, estamos tratando de "dividir" H ^ para "diagonalizarlo" en una nueva base propia donde su acción en el espacio de Hilbert subyacente se entienda más fácilmente. No estoy seguro del significado físico de esto.
Además, esas funciones son polinomios en dos variables ( X y pag ), ¿bien? ¿Podría especificar cómo los polinomios de dos variables forman el dominio euclidiano?
@SolenodonParadoxus Ese es un buen punto: los anillos polinómicos multivariados generalmente son solo dominios de factorización únicos, no necesariamente dominios euclidianos (podemos descomponer polinomios multivariados en factores únicos, pero no siempre existe un GCD único entre dos elementos). A pesar de esto, creo que es posible restringirse a ciertos subconjuntos de anillos polinómicos multivariados para obtener un dominio euclidiano (hablando en términos generales, mire los subconjuntos conectados por factores), y sospecho que a ^ † a ^ y H ^ vivirán juntos en tal subespacio en general.
Explique un poco cómo se restringirá a dicho subconjunto en el caso general.
@SolenodonParadoxus Discutí esto con mi profesor hoy y llegamos a la conclusión de que hay cierta sutileza exactamente en esa parte del proceso, ya que la expresión anterior para H ^ junto con el requisito de que [ a ^ , a ^ † ] = 1 equivale a una solución a un problema hamiltoniano general que se sabe que no tiene solución. Sospecho que nuestra capacidad o incapacidad para restringirnos a tal subconjunto, y cuán mal falla nuestra capacidad para restringir, tendrá algo que ver con esta falta de solución. En general, los anillos polinómicos multivariados no son dominios euclidianos porque los GCD no son únicos.
@SolenodonParadoxus Mi último comentario en realidad no es exacto, disculpas; los anillos de polinomios multivariantes no son dominios euclidianos porque no siempre hay factores comunes de dos polinomios pag y q con d mi gramo ( pag ) ≤ d mi gramo ( q ) . Por ejemplo, considere pag = X 2 y 5 y q = X y 7 , o cualquier polinomio de dos variables de un solo término con desigualdades similares en los exponentes. Por lo tanto, podemos ver subconjuntos del anillo polinomial multivariable definido como compartiendo algún factor común además de 1 , y entonces deberíamos tener un montón de subespacios de dominio euclidiano.
@AlecRhea sí, ese era exactamente mi punto. Es por eso que creo que tu sugerencia tiene poco sentido físico, desafortunadamente. Pero fue un ejercicio mental divertido.

Respuestas (1)

Su pregunta está estrechamente relacionada con una propiedad de factorización de algunas EDO de segundo orden. Esto se discutió en la tesis de TE Hull y se publicó, con L. Infeld, como "Infeld, L., and TE Hull. The factorization method. Reviews of modern Physics 23.1 (1951): 21".

Este enfoque de factorización está estrechamente relacionado con la mecánica cuántica supersimétrica (consulte Cooper, Fred, Avinash Khare y Uday Sukhatme. "Supersymmetry and quantum mechanics". Physics Reports 251.5-6 (1995): 267-385).

Supongamos que tenemos un hamiltoniano H ^ − para el cual ya conocemos la solución del estado fundamental | ψ 0 ⟩ y la energía del estado fundamental correspondiente mi 0 , es decir, sabemos (en el X representación) que ψ 0 ( X ) es una solucion a

H ^ ψ ( X ) = ( − ℏ 2 2 metro d 2 d X 2 + V − ( X ) ) ψ 0 ( X ) = 0 , V − ( X ) = V ( X ) − mi 0

Entonces se puede demostrar que el hamiltoniano se puede reescribir en la forma

H ^ − = ℏ 2 2 metro ( d 2 d X 2 + ψ 0 ″ ( X ) ψ 0 ( X ) ) = A ^ † A ^ ,
dónde
A ^ = ℏ 2 metro ( d d X − ψ 0 ′ ( X ) ψ 0 ( X ) ) , A ^ † = ℏ 2 metro ( − d d X − ψ 0 ′ ( X ) ψ 0 ( X ) )
y con A ^ y A ^ † satisfactorio
[ A ^ , A ^ † ] = 2 ℏ 2 metro W ′ ( X ) , W ( X ) = − ℏ 2 metro ( ψ 0 ′ ( X ) ψ 0 ( X ) ) .
dónde W ( X ) es el superpotencial del problema.

La (super)simetría entra en juego al señalar que

A ^ A ^ † ≡ H ^ + = − ℏ 2 2 metro d 2 d X 2 + V + ( X ) , V + ( X ) = − V − ( X ) + 2 W 2 ( X ) , V ± ( X ) = W 2 ( X ) ± ℏ 2 metro W ′ ( X )
V ± se conocen como socios supersimétricos y soportan los mismos valores propios de energía mi norte − = mi norte + excepto que la energía más baja mi 0 − , que no tiene equivalente en V + ( X ) .

Si ψ norte − ( X ) es una función propia de H ^ − con valor propio mi norte − , entonces A ^ ψ norte − ( X ) es una función propia de H ^ + con el mismo valor propio.

La aplicación más simple de esto es al pozo infinito, con mi 0 = ℏ 2 π 2 2 metro a 2 y ψ norte ( X ) = 2 a pecado ⁡ ( ( norte + 1 ) π X a ) . Uno puede encontrar las energías y funciones de onda del suelo y el estado excitado para el potencial V + ( X ) = ℏ 2 π 2 2 metro a 2 ( 2 pecado 2 ⁡ ( π X a ) − 1 ) .

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